三角関数例

{cot}^{4} (x) - 4 {cot}^{2} (x) + 3 = 0

$\cot^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

{cot}^{4} (x)

$\cot^{4} (x)$ を

${(\cot^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

${(\cot^{2} (x))}^{2} - 4 \cot^{2} (x) + 3 = 0$

ステップ 1.2

$u = \cot^{2} (x)$ とします。

$u$ を

$\cot^{2} (x)$ に代入します。

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して

$u^{2} - 4 u + 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が

$c$ で和が

$b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が

$3$ で、その和が

$- 4$ です。

$- 3, - 1$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 3) (u - 1) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を

$\cot^{2} (x)$ で置き換えます。

$(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が

$0$ と等しいならば、式全体は

$0$ と等しくなります。

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 3

$\cot^{2} (x) - 3$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\cot^{2} (x) - 3$ が

$0$ に等しいとします。

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について

$\cot^{2} (x) - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺に

$3$ を足します。

$\cot^{2} (x) = 3$

ステップ 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

ステップ 3.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

まず、

$\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cot (x) = \sqrt{3}$

ステップ 3.2.3.2

次に、

$\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

ステップ 3.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 3.2.4

各解を求め、

$x$ を解きます。

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

ステップ 3.2.5

$\cot (x) = \sqrt{3}$ の

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から

$x$ を取り出します。

$x = arccot (\sqrt{3})$

ステップ 3.2.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.1

$arccot (\sqrt{3})$ の厳密値は

$\frac{π}{6}$ です。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.5.3

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、

$π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.5.4

$π + \frac{π}{6}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.5.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.4.2.1

$π$ と

$\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.5.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

ステップ 3.2.5.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.4.3.1

$6$ を

$π$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

ステップ 3.2.5.4.3.2

$6 π$ と

$π$ をたし算します。

$x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 3.2.5.5

$\cot (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.5.1

関数の期間は

$\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 3.2.5.5.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.5.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 3.2.5.5.4

$π$ を

$1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.2.5.6

$\cot (x)$ 関数の周期が

$π$ なので、両方向で

$π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 3.2.6

$\cot (x) = - \sqrt{3}$ の

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から

$x$ を取り出します。

$x = arccot (- \sqrt{3})$

ステップ 3.2.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.2.1

$arccot (- \sqrt{3})$ の厳密値は

$\frac{5 π}{6}$ です。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 3.2.6.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

ステップ 3.2.6.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.4.1

$2 π$ に

$\frac{5 π}{6} - π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

ステップ 3.2.6.4.2

$\frac{11 π}{6}$ の結果の角度は正で

$\frac{5 π}{6} - π$ と隣接します。

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 3.2.6.5

$\cot (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.5.1

関数の期間は

$\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 3.2.6.5.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 3.2.6.5.4

$π$ を

$1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.2.6.6

$\cot (x)$ 関数の周期が

$π$ なので、両方向で

$π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 3.2.7

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 3.2.8

解をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.1

$\frac{7 π}{6} + π n$ と

$\frac{π}{6} + π n$ を

$\frac{π}{6} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 3.2.8.2

$\frac{11 π}{6} + π n$ と

$\frac{5 π}{6} + π n$ を

$\frac{5 π}{6} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 4

$\cot^{2} (x) - 1$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\cot^{2} (x) - 1$ が

$0$ に等しいとします。

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について

$\cot^{2} (x) - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺に

$1$ を足します。

$\cot^{2} (x) = 1$

ステップ 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{1}$

ステップ 4.2.3

$1$ のいずれの根は

$1$ です。

$\cot (x) = \pm 1$

ステップ 4.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

まず、

$\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cot (x) = 1$

ステップ 4.2.4.2

次に、

$\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cot (x) = - 1$

ステップ 4.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cot (x) = 1, - 1$

ステップ 4.2.5

各解を求め、

$x$ を解きます。

$\cot (x) = 1$

$\cot (x) = - 1$

ステップ 4.2.6

$\cot (x) = 1$ の

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から

$x$ を取り出します。

$x = arccot (1)$

ステップ 4.2.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.2.1

$arccot (1)$ の厳密値は

$\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.6.3

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、

$π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.6.4

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.6.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.4.2.1

$π$ と

$\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.6.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 4.2.6.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.4.3.1

$4$ を

$π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 4.2.6.4.3.2

$4 π$ と

$π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 4.2.6.5

$\cot (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.5.1

関数の期間は

$\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.2.6.5.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 4.2.6.5.4

$π$ を

$1$ で割ります。

$π$

ステップ 4.2.6.6

$\cot (x)$ 関数の周期が

$π$ なので、両方向で

$π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 4.2.7

$\cot (x) = - 1$ の

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から

$x$ を取り出します。

$x = arccot (- 1)$

ステップ 4.2.7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.2.1

$arccot (- 1)$ の厳密値は

$\frac{3 π}{4}$ です。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 4.2.7.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

ステップ 4.2.7.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.4.1

$2 π$ に

$\frac{3 π}{4} - π$ をたし算します。

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

ステップ 4.2.7.4.2

$\frac{7 π}{4}$ の結果の角度は正で

$\frac{3 π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 4.2.7.5

$\cot (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.5.1

関数の期間は

$\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.2.7.5.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 4.2.7.5.4

$π$ を

$1$ で割ります。

$π$

ステップ 4.2.7.6

$\cot (x)$ 関数の周期が

$π$ なので、両方向で

$π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 4.2.8

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 4.2.9

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数

$n$

ステップ 5

最終解は

$(\cot^{2} (x) - 3) (\cot^{2} (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数

$n$

三角関数 例

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