三角関数例

$\sin (x) = \sqrt{1 - \cos^{2} (x)}$

ステップ 1

根号が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\sqrt{1 - \cos^{2} (x)} = \sin (x)$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}$ を ${(1 - \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(1 - \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${({(1 - \cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

${({(\sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 3.2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.2.1.2.1

${({(\sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(\sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 3.2.1.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.2.1.2.1

共通因数を約分します。

${(\sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 3.2.1.2.1.2.2

式を書き換えます。

${(\sin^{2} (x))}^{1} = \sin^{2} (x)$

ステップ 3.2.1.2.2

${(\sin^{2} (x))}^{1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${\sin (x)}^{2 \cdot 1} = \sin^{2} (x)$

ステップ 3.2.1.2.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

指数が等しいので、方程式の両辺の指数の底は等しくなければなりません。

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

絶対値方程式を絶対値記号がない4つの方程式に書き換えます。

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

ステップ 4.2.2

簡約した後、解くべき方程式は2つだけです。

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

ステップ 4.2.3

$x$ について $\sin (x) = \sin (x)$ を解きます。

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ステップ 4.2.3.1

2つの関数を等しくするために、それぞれの因数を等しくする必要があります。

$x = x$

ステップ 4.2.3.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.2.3.2.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$x - x = 0$

ステップ 4.2.3.2.2

$x$ から $x$ を引きます。

$0 = 0$

ステップ 4.2.3.3

$0 = 0$ なので、方程式は常に真になります。

すべての実数

ステップ 4.2.4

$x$ について $\sin (x) = - \sin (x)$ を解きます。

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ステップ 4.2.4.1

$\sin (x)$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.2.4.1.1

方程式の両辺に $\sin (x)$ を足します。

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.4.1.2

$\sin (x)$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$2 \sin (x) = 0$

ステップ 4.2.4.2

$2 \sin (x) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.4.2.1

$2 \sin (x) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.2.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.2.4.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

ステップ 4.2.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.4.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$\sin (x) = 0$

ステップ 4.2.4.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 4.2.4.4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.4.4.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.2.4.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 4.2.4.6

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 4.2.4.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.4.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.4.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.4.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.4.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.4.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例