三角関数例

tan (x) = \frac{sin (x)}{\sqrt{1 - {sin}^{2} (x)}}

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$

ステップ 1

根号が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} = \tan (x)$

ステップ 2

たすき掛けします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

右辺の分子と左辺の分母の積を、左辺の分子と右辺の分母の積と等しくしてたすき掛けします。

$\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}) = \sin (x)$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\tan (x) \cdot (\sqrt{1 - \sin^{2} (x)})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

正弦と余弦に関して

$\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1 - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

ステップ 2.2.1.2

$1$ を

$1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \sin (x)$

ステップ 2.2.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、

$a = 1$ であり、

$b = \sin (x)$ です。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \sin (x)$

ステップ 2.2.1.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) \sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{\cos (x)} = \sin (x)$

ステップ 2.2.1.5

分数を分解します。

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sin (x)$

ステップ 2.2.1.6

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を

$\tan (x)$ に変換します。

$\frac{\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}}{1} \tan (x) = \sin (x)$

ステップ 2.2.1.7

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ を

$1$ で割ります。

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x) = \sin (x)$

ステップ 3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$ を

${((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

${({((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

${({(1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

${({(1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1.1

$1$ に

$1$ をかけます。

${({(1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.2.1.2

$- \sin (x)$ に

$1$ をかけます。

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.2.1.3

$\sin (x)$ に

$1$ をかけます。

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.2.1.5

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1.5.1

$\sin (x)$ を

$1$ 乗します。

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.2.1.5.2

$\sin (x)$ を

$1$ 乗します。

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.2.1.5.3

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.2.1.5.4

$1$ と

$1$ をたし算します。

${({(1 - \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.2.2

$- \sin (x)$ と

$\sin (x)$ をたし算します。

${({(1 + 0 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.2.3

$1$ と

$0$ をたし算します。

${({(1 - \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

${({(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.4

${(\cos^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

${({\cos (x)}^{2 (\frac{1}{2})} \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.4.2.2

式を書き換えます。

${(\cos^{1} (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.5

簡約します。

${(\cos (x) \tan (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.6

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.6.1

$\cos (x)$ と

$\tan (x)$ を並べ替えます。

${(\tan (x) \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.6.2

正弦と余弦に関して

$\cos (x) \tan (x)$ を書き換えます。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x)$

ステップ 4.2.1.6.3

共通因数を約分します。

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

ステップ 5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

指数が等しいので、方程式の両辺の指数の底は等しくなければなりません。

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

ステップ 5.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

絶対値方程式を絶対値記号がない4つの方程式に書き換えます。

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

ステップ 5.2.2

簡約した後、解くべき方程式は2つだけです。

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

ステップ 5.2.3

$x$ について

$\sin (x) = \sin (x)$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

2つの関数を等しくするために、それぞれの因数を等しくする必要があります。

$x = x$

ステップ 5.2.3.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

方程式の両辺から

$x$ を引きます。

$x - x = 0$

ステップ 5.2.3.2.2

$x$ から

$x$ を引きます。

$0 = 0$

ステップ 5.2.3.3

$0 = 0$ なので、方程式は常に真になります。

すべての実数

ステップ 5.2.4

$x$ について

$\sin (x) = - \sin (x)$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$\sin (x)$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1.1

方程式の両辺に

$\sin (x)$ を足します。

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

ステップ 5.2.4.1.2

$\sin (x)$ と

$\sin (x)$ をたし算します。

$2 \sin (x) = 0$

ステップ 5.2.4.2

$2 \sin (x) = 0$ の各項を

$2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

$2 \sin (x) = 0$ の各項を

$2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.2.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.2.4.2.2.1.2

$\sin (x)$ を

$1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

ステップ 5.2.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.3.1

$0$ を

$2$ で割ります。

$\sin (x) = 0$

ステップ 5.2.4.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から

$x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 5.2.4.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は

$0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.2.4.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、

$π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 5.2.4.6

$π$ から

$0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 5.2.4.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.7.1

関数の期間は

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.4.7.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.4.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.4.7.4

$2 π$ を

$1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.4.8

$\sin (x)$ 関数の周期が

$2 π$ なので、両方向で

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 6

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数

$n$

三角関数 例

三角関数例