三角関数例

$\sin (\frac{3 n}{2}) = 1$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $n$ を取り出します。

$\frac{3 n}{2} = \arcsin (1)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$\frac{3 n}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 3

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$3 n = π$

ステップ 4

$3 n = π$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$3 n = π$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 n}{3} = \frac{π}{3}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 n}{3} = \frac{π}{3}$

ステップ 4.2.1.2

$n$ を $1$ で割ります。

$n = \frac{π}{3}$

ステップ 5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{3 n}{2} = π - \frac{π}{2}$

ステップ 6

$n$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 n}{2} = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

ステップ 6.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 n}{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 n}{2} = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

ステップ 6.2.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (3 n) = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

ステップ 6.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1.2.1

$3$ を $3 n$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (3 (n)) = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

ステップ 6.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (3 n) = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

ステップ 6.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$n = \frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$\frac{2}{3} (π - \frac{π}{2})$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$n = \frac{2}{3} (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 6.2.2.1.2

項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$n = \frac{2}{3} (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 6.2.2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$n = \frac{2}{3} \cdot \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.2.2.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$n = \frac{2}{3} \cdot \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.2.2.1.2.3.2

式を書き換えます。

$n = \frac{1}{3} (π \cdot 2 - π)$

ステップ 6.2.2.1.3

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$n = \frac{1}{3} (2 π - π)$

ステップ 6.2.2.1.4

項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.4.1

$2 π$ から $π$ を引きます。

$n = \frac{1}{3} π$

ステップ 6.2.2.1.4.2

$\frac{1}{3}$ と $π$ をまとめます。

$n = \frac{π}{3}$

ステップ 7

$\sin (\frac{3 n}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $\frac{3}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

ステップ 7.3

$\frac{3}{2}$ は約 $1.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \frac{2}{3}$

ステップ 7.5

$2 π \frac{2}{3}$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1

$\frac{2}{3}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

ステップ 7.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{3} π$

ステップ 7.5.3

$\frac{4}{3}$ と $π$ をまとめます。

$\frac{4 π}{3}$

ステップ 8

$\sin (\frac{3 n}{2})$ 関数の周期が $\frac{4 π}{3}$ なので、両方向で $\frac{4 π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$n = \frac{π}{3} + \frac{4 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例