三角関数例

$\tan (67.5 °)$

ステップ 1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $67.5 °$ を書き直します。

$\tan (\frac{135}{2})$

ステップ 2

正切半角の公式を当てはめます。

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

ステップ 3

正切が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$

ステップ 4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (135)}}$

ステップ 4.2

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

ステップ 4.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

ステップ 4.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

ステップ 4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}$

ステップ 4.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}$

ステップ 4.7

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 4.8

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 4.9

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 4.10

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

ステップ 4.11

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.11.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

ステップ 4.11.2

式を書き換えます。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}$

ステップ 4.12

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}$

ステップ 4.13

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

ステップ 4.14

FOIL法を使って分母を展開します。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

ステップ 4.15

簡約します。

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 4.16

分配則を当てはめます。

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 4.17

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.17.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 4.17.2

式を書き換えます。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 4.18

$\sqrt{2}$ と $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

ステップ 4.19

各項を簡約します。

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ステップ 4.19.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 4.19.2

$2$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 4.19.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

ステップ 4.19.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.19.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

ステップ 4.19.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

ステップ 4.19.4.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

ステップ 4.19.5

$2 \sqrt{2} + 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.19.5.1

$2$ を $2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}$

ステップ 4.19.5.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}$

ステップ 4.19.5.3

$2$ を $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}$

ステップ 4.19.5.4

共通因数を約分します。

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ステップ 4.19.5.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}$

ステップ 4.19.5.4.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}$

ステップ 4.19.5.4.3

式を書き換えます。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}$

ステップ 4.19.5.4.4

$\sqrt{2} + 1$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}$

ステップ 4.20

$2$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}$

ステップ 4.21

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

10進法形式：

$2.41421356 \dots$

三角関数 例

三角関数例