三角関数例

$- \sin (π x) = 1$

ステップ 1

$- \sin (π x) = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$- \sin (π x) = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sin (π x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (π x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.2.2

$\sin (π x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (π x) = \frac{1}{- 1}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$\sin (π x) = - 1$

ステップ 2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$π x = \arcsin (- 1)$

ステップ 3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$π x = - \frac{π}{2}$

ステップ 4

$π x = - \frac{π}{2}$ の各項を $π$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$π x = - \frac{π}{2}$ の各項を $π$ で割ります。

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

ステップ 4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

ステップ 4.3.2

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1

$- \frac{π}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x = \frac{- π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

ステップ 4.3.2.2

$π$ を $- π$ で因数分解します。

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

ステップ 4.3.2.3

共通因数を約分します。

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

ステップ 4.3.2.4

式を書き換えます。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 5

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$π x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 6.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$π x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 6.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$π x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 6.3

$π x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $π$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$π x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $π$ で割ります。

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

ステップ 6.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

ステップ 6.3.3.2

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.3.2.1

$π$ を $3 π$ で因数分解します。

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

ステップ 6.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

ステップ 6.3.3.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 7

$\sin (π x)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $π$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| π |}$

ステップ 7.3

$π$ は約 $3.14159265$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{π}$

ステップ 7.4

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{π}$

ステップ 7.4.2

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

ステップ 8

$2$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 8.1

$2$ を $- \frac{1}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{1}{2} + 2$

ステップ 8.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 8.3

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 8.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

ステップ 8.5

分子を簡約します。

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ステップ 8.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 - 1}{2}$

ステップ 8.5.2

$4$ から $1$ を引きます。

$\frac{3}{2}$

ステップ 8.6

新しい角をリストします。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 9

$\sin (π x)$ 関数の周期が $2$ なので、両方向で $2$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3}{2} + 2 n, \frac{3}{2} + 2 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

答えをまとめます。

$x = \frac{3}{2} + 2 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例