三角関数例

$\sin (70) \cos (x) - \cos (70) \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$\sin (70)$ の値を求めます。

$0.93969262 \cos (x) - \cos (70) \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2

$\cos (70)$ の値を求めます。

$0.93969262 \cos (x) - 1 \cdot (0.34202014 \sin (x)) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.3

$- 1$ に $0.34202014$ をかけます。

$0.93969262 \cos (x) - 0.34202014 \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 2

恒等式を利用して方程式を解きます。この恒等式では、 $θ$ はグラフ上に点 $(a, b)$ をプロットしてできる角度を表しているので、 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ を利用して求めることができます。

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ および $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ ならば $a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$

ステップ 3

方程式を立て、 $θ$ の値を求めます。

$\tan^{-1} (\frac{0.93969262}{- 0.34202014})$

ステップ 4

逆正切をとり、 $θ$ の方程式を解きます。

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ステップ 4.1

$0.93969262$ を $- 0.34202014$ で割ります。

$θ = \tan^{-1} (- 2.74747741)$

ステップ 4.2

$\tan^{-1} (- 2.74747741)$ の値を求めます。

$θ = - 70$

ステップ 5

式を解いて $R$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

$- 0.34202014$ を $2$ 乗します。

$R = \sqrt{0.11697777 + {(0.93969262)}^{2}}$

ステップ 5.2

$0.93969262$ を $2$ 乗します。

$R = \sqrt{0.11697777 + 0.88302222}$

ステップ 5.3

$0.11697777$ と $0.88302222$ をたし算します。

$R = \sqrt{1}$

ステップ 6

既知数を方程式に代入します。

$(\sqrt{1}) \sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 7

$\sqrt{1} \sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ の各項を $\sqrt{1}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$\sqrt{1} \sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ の各項を $\sqrt{1}$ で割ります。

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - 70)}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\sqrt{1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - 70)}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1}}$

ステップ 7.2.1.2

$\sin (x - 70)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x - 70) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{1}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

ステップ 7.3.2

$\frac{1}{\sqrt{1}}$ に $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ をかけます。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}})$

ステップ 7.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 7.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{1}}$ に $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ をかけます。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1} \sqrt{1}}$

ステップ 7.3.3.2

$\sqrt{1}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} \sqrt{1}}$

ステップ 7.3.3.3

$\sqrt{1}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} {\sqrt{1}}^{1}}$

ステップ 7.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1 + 1}}$

ステップ 7.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{2}}$

ステップ 7.3.3.6

${\sqrt{1}}^{2}$ を $1$ に書き換えます。

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ステップ 7.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1}$ を $1^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{(1^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 7.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{1}}$

ステップ 7.3.3.6.5

指数を求めます。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1}$

ステップ 7.3.4

根の値を求めます。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 7.3.5

$1$ を $1$ で割ります。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

ステップ 7.3.6

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\sin (x - 70) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 8

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x - 70 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 9

右辺を簡約します。

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ステップ 9.1

$\sin^{-1} (\frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $60$ です。

$x - 70 = 60$

ステップ 10

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 10.1

方程式の両辺に $70$ を足します。

$x = 60 + 70$

ステップ 10.2

$60$ と $70$ をたし算します。

$x = 130$

ステップ 11

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x - 70 = 180 - 60$

ステップ 12

$x$ について解きます。

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ステップ 12.1

$180$ から $60$ を引きます。

$x - 70 = 120$

ステップ 12.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 12.2.1

方程式の両辺に $70$ を足します。

$x = 120 + 70$

ステップ 12.2.2

$120$ と $70$ をたし算します。

$x = 190$

ステップ 13

$\sin (x - 70)$ の周期を求めます。

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ステップ 13.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 13.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 13.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 13.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 14

$\sin (x - 70)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$x = 130 + 360 n, 190 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

$\sin (70) \cos (x) - \cos (70) \sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ が真にならない解を除外します。

解がありません

三角関数 例

三角関数例