三角関数例

$\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $\sin (2 x)$ を引きます。

$\sqrt{2 \cos (x)} = - \sin (2 x)$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{2 \cos (x)}}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 \cos (x)}$ を ${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 \cos (x))}^{1} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$2 \cos (x) = {(- \sin (2 x))}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

${(- \sin (2 x))}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

積の法則を $- \sin (2 x)$ に当てはめます。

$2 \cos (x) = {(- 1)}^{2} \sin^{2} (2 x)$

ステップ 3.3.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$2 \cos (x) = 1 \sin^{2} (2 x)$

ステップ 3.3.1.3

$\sin^{2} (2 x)$ に $1$ をかけます。

$2 \cos (x) = \sin^{2} (2 x)$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $\sin^{2} (2 x)$ を引きます。

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

ステップ 4.2

$\sin^{2} (2 x)$ を $1 - \cos^{2} (2 x)$ で置き換えます。

$2 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (2 x)) = 0$

ステップ 4.3

方程式の左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

ステップ 4.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 \cos (x) - {(2 \sin (x) \cos (x))}^{2} = 0$

ステップ 4.3.2.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.3.2.2.1

積の法則を $2 \sin (x) \cos (x)$ に当てはめます。

$2 \cos (x) - ({(2 \sin (x))}^{2} \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 4.3.2.2.2

積の法則を $2 \sin (x)$ に当てはめます。

$2 \cos (x) - (2^{2} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 4.3.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$2 \cos (x) - (4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 4.3.2.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 4.4

$2 \cos (x)$ を $2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$2 \cos (x)$ を $2 \cos (x)$ で因数分解します。

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 4.4.2

$2 \cos (x)$ を $- 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

ステップ 4.4.3

$2 \cos (x)$ を $2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$ で因数分解します。

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

ステップ 4.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

ステップ 4.6

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 4.6.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 4.6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 4.6.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 4.6.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.6.2.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.6.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 4.6.2.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 4.6.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 4.6.2.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.6.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.6.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.6.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.6.2.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.7

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.7.1

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

ステップ 4.7.2

$x$ について $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 4.7.2.1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$1 (1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

ステップ 4.7.2.2

$1 - \cos^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

ステップ 4.7.2.3

分配則を当てはめます。

$1 \cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

ステップ 4.7.2.4

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

ステップ 4.7.2.5

指数を足して $\cos^{2} (x)$ に $\cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 4.7.2.5.1

$\cos (x)$ を移動させます。

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 4.7.2.5.2

$\cos (x)$ に $\cos^{2} (x)$ をかけます。

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ステップ 4.7.2.5.2.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 4.7.2.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 2} = 0$

ステップ 4.7.2.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\cos (x) - \cos^{3} (x) = 0$

ステップ 4.7.2.6

多項式を並べ替えます。

$- \cos^{3} (x) + \cos (x) = 0$

ステップ 4.7.2.7

$u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$- {(u)}^{3} + u = 0$

ステップ 4.7.2.8

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.8.1

$- u$ を $- u^{3} + u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.8.1.1

$- u$ を $- u^{3}$ で因数分解します。

$- u \cdot u^{2} + u = 0$

ステップ 4.7.2.8.1.2

$u$ を $1 u$ に書き換えます。

$- u \cdot u^{2} + 1 u = 0$

ステップ 4.7.2.8.1.3

$- u$ を $1 u$ で因数分解します。

$- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1 = 0$

ステップ 4.7.2.8.1.4

$- u$ を $- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1$ で因数分解します。

$- u (u^{2} - 1) = 0$

ステップ 4.7.2.8.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- u (u^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 4.7.2.8.3

因数分解。

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ステップ 4.7.2.8.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = u$ であり、 $b = 1$ です。

$- u ((u + 1) (u - 1)) = 0$

ステップ 4.7.2.8.3.2

不要な括弧を削除します。

$- u (u + 1) (u - 1) = 0$

ステップ 4.7.2.9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u = 0$

$u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

ステップ 4.7.2.10

$u$ が $0$ に等しいとします。

$u = 0$

ステップ 4.7.2.11

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.11.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 4.7.2.11.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 4.7.2.12

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.12.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 4.7.2.12.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 4.7.2.13

最終解は $- u (u + 1) (u - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 0, - 1, 1$

ステップ 4.7.2.14

$\cos (x)$ を $u$ に代入します。

$\cos (x) = 0, - 1, 1$

ステップ 4.7.2.15

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = 1$

ステップ 4.7.2.16

$\cos (x) = 0$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.16.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 4.7.2.16.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.16.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 4.7.2.16.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 4.7.2.16.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.16.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.7.2.16.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.16.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.7.2.16.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 4.7.2.16.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.16.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 4.7.2.16.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 4.7.2.16.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.16.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.7.2.16.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.7.2.16.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.7.2.16.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.7.2.16.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.7.2.17

$\cos (x) = - 1$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.17.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 4.7.2.17.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.17.2.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 4.7.2.17.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 4.7.2.17.4

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 4.7.2.17.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.17.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.7.2.17.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.7.2.17.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.7.2.17.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.7.2.17.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.7.2.18

$\cos (x) = 1$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.18.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (1)$

ステップ 4.7.2.18.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.18.2.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.7.2.18.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 4.7.2.18.4

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 4.7.2.18.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.2.18.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.7.2.18.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.7.2.18.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.7.2.18.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.7.2.18.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.7.2.19

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.7.2.20

答えをまとめます。

$x = \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.8

最終解は $2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

答えをまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ と $\frac{π}{2} + π n$ を $\frac{π}{2} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2

$\frac{π n}{2}$ と $\frac{π n}{2}$ を $\frac{π}{2} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

各解を $\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$ に代入して解き、検算します。

$x = 4.71238898, 10.99557428$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例