三角関数例

$\sin (2 x) = \cos (3 x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $\cos (3 x)$ を引きます。

$\sin (2 x) - \cos (3 x) = 0$

ステップ 2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (3 x) = 0$

ステップ 2.2

三角関数表現を利用して $\cos (3 x)$ を $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ に変換します。

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) = 0$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$2 \sin (x) \cos (x) - (4 \cos^{3} (x)) - (- 3 \cos (x)) = 0$

ステップ 2.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) - (- 3 \cos (x)) = 0$

ステップ 2.5

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

ステップ 3

$\cos (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\cos (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$\cos (x) (2 \sin (x)) - 4 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x) = 0$

ステップ 3.2

$\cos (x)$ を $- 4 \cos^{3} (x)$ で因数分解します。

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + 3 \cos (x) = 0$

ステップ 3.3

$\cos (x)$ を $3 \cos (x)$ で因数分解します。

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

ステップ 3.4

$\cos (x)$ を $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- 4 \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3 = 0$

ステップ 3.5

$\cos (x)$ を $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) + \cos (x) \cdot 3$ で因数分解します。

$\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

ステップ 5

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 5.2.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 5.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 5.2.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $- 4 \cos^{2} (x)$ を $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ で置き換えます。

$2 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

ステップ 6.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

分配則を当てはめます。

$2 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

ステップ 6.2.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$2 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 3 = 0$

ステップ 6.2.2.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$2 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

ステップ 6.2.3

$- 4$ と $3$ をたし算します。

$2 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 6.2.4

多項式を並べ替えます。

$4 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 6.2.5

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

ステップ 6.2.6

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.2.7

$a = 4$ 、 $b = 2$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.8.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.8.1.2.2

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.8.1.3

$4$ と $16$ をたし算します。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.8.1.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.1.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.8.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.8.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.2.8.2

$2$ に $4$ をかけます。

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

ステップ 6.2.8.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ を簡約します。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{4}$

ステップ 6.2.9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

ステップ 6.2.10

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

ステップ 6.2.11

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

ステップ 6.2.12

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.12.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

ステップ 6.2.12.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.12.2.1

$\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ の値を求めます。

$x = \frac{π}{10}$

ステップ 6.2.12.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π$

ステップ 6.2.12.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.12.4.1

$2 π - \frac{π}{10} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π - 2 π$

ステップ 6.2.12.4.2

$\frac{9 π}{10}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π - \frac{π}{10} + π$ と隣接します。

$x = \frac{9 π}{10}$

ステップ 6.2.12.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.12.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.12.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.12.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.12.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.12.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2.13

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.13.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

ステップ 6.2.13.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.13.2.1

$\arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ の値を求めます。

$x = - \frac{3 π}{10}$

ステップ 6.2.13.3

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π$

ステップ 6.2.13.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.13.4.1

$2 π + \frac{3 π}{10} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π - 2 π$

ステップ 6.2.13.4.2

$\frac{13 π}{10}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ と隣接します。

$x = \frac{13 π}{10}$

ステップ 6.2.13.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.13.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.13.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.13.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.13.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.13.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.13.6.1

$2 π$ を $- \frac{3 π}{10}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{3 π}{10} + 2 π$

ステップ 6.2.13.6.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{10}{10}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

ステップ 6.2.13.6.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.13.6.3.1

$2 π$ と $\frac{10}{10}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

ステップ 6.2.13.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 10 - 3 π}{10}$

ステップ 6.2.13.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.13.6.4.1

$10$ に $2$ をかけます。

$\frac{20 π - 3 π}{10}$

ステップ 6.2.13.6.4.2

$20 π$ から $3 π$ を引きます。

$\frac{17 π}{10}$

ステップ 6.2.13.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{17 π}{10}$

ステップ 6.2.13.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2.14

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $\cos (x) (2 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ と $\frac{π}{2} + π n$ を $\frac{π}{2} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例