三角関数例

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (67.5)}{2}}$

ステップ 1

$\sqrt{\frac{1 + \cos (67.5)}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.1

$\cos (67.5)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ です。

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ステップ 1.1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $67.5$ を書き直します。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{135}{2})}{2}}$

ステップ 1.1.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}}{2}}$

ステップ 1.1.3

余弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}}{2}}$

ステップ 1.1.4

$\sqrt{\frac{1 + \cos (135)}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}}}{2}}$

ステップ 1.1.4.2

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

ステップ 1.1.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

ステップ 1.1.4.4

公分母の分子をまとめます。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}{2}}$

ステップ 1.1.4.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}{2}}$

ステップ 1.1.4.6

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.4.6.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}{2}}$

ステップ 1.1.4.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}{2}}$

ステップ 1.1.4.7

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}{2}}$

ステップ 1.1.4.8

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.4.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}{2}}$

ステップ 1.1.4.8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

ステップ 1.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

ステップ 1.3

公分母の分子をまとめます。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{2}}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 1.5

$\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.5.1

$\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\cos (\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}}$

ステップ 1.6

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 1.7

分母を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 1.7.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2}$

ステップ 2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2})$

ステップ 3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}{2})$ の値を求めます。

$\frac{x}{2} = 33.75$

ステップ 4

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 33.75$

ステップ 5

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 33.75$

ステップ 5.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 \cdot 33.75$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ に $33.75$ をかけます。

$x = 67.5$

ステップ 6

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} = 360 - 33.75$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 (360 - 33.75)$

ステップ 7.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 (360 - 33.75)$

ステップ 7.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 (360 - 33.75)$

ステップ 7.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$2 (360 - 33.75)$ を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1.1

$360$ から $33.75$ を引きます。

$x = 2 \cdot 326.25$

ステップ 7.2.2.1.2

$2$ に $326.25$ をかけます。

$x = 652.5$

ステップ 8

$\cos (\frac{x}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 8.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 8.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{360}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 8.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{360}{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$360 \cdot 2$

ステップ 8.5

$360$ に $2$ をかけます。

$720$

ステップ 9

$\cos (\frac{x}{2})$ 関数の周期が $720$ なので、両方向で $720$ 度ごとに値を繰り返します。

$x = 67.5 + 720 n, 652.5 + 720 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例