三角関数例

$\cos (3 x - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$3 x - \frac{π}{3} = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{π}{4}$

ステップ 3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $\frac{π}{3}$ を足します。

$3 x = \frac{π}{4} + \frac{π}{3}$

ステップ 3.2

$\frac{π}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 x = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 3.3

$\frac{π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$3 x = \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.4.1

$\frac{π}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$3 x = \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 3.4.2

$4$ に $3$ をかけます。

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 3.4.3

$\frac{π}{3}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

ステップ 3.4.4

$3$ に $4$ をかけます。

$3 x = \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12}$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$3 x = \frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12}$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$3 x = \frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12}$

ステップ 3.6.2

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$3 x = \frac{3 π + 4 \cdot π}{12}$

ステップ 3.6.3

$3 π$ と $4 π$ をたし算します。

$3 x = \frac{7 π}{12}$

ステップ 4

$3 x = \frac{7 π}{12}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$3 x = \frac{7 π}{12}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

ステップ 4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{7 π}{12}}{3}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{7 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 4.3.2

$\frac{7 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.2.1

$\frac{7 π}{12}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{12 \cdot 3}$

ステップ 4.3.2.2

$12$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{36}$

ステップ 5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$3 x - \frac{π}{3} = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

$2 π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$3 x - \frac{π}{3} = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 6.1.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.1.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 6.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 6.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 6.1.3.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$3 x - \frac{π}{3} = \frac{7 π}{4}$

ステップ 6.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $\frac{π}{3}$ を足します。

$3 x = \frac{7 π}{4} + \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.2

$\frac{7 π}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.3

$\frac{π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$3 x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 6.2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.2.4.1

$\frac{7 π}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 6.2.4.2

$4$ に $3$ をかけます。

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 6.2.4.3

$\frac{π}{3}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

ステップ 6.2.4.4

$3$ に $4$ をかけます。

$3 x = \frac{7 π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12}$

ステップ 6.2.5

公分母の分子をまとめます。

$3 x = \frac{7 π \cdot 3 + π \cdot 4}{12}$

ステップ 6.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.6.1

$3$ に $7$ をかけます。

$3 x = \frac{21 π + π \cdot 4}{12}$

ステップ 6.2.6.2

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$3 x = \frac{21 π + 4 \cdot π}{12}$

ステップ 6.2.6.3

$21 π$ と $4 π$ をたし算します。

$3 x = \frac{25 π}{12}$

ステップ 6.3

$3 x = \frac{25 π}{12}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$3 x = \frac{25 π}{12}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

ステップ 6.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{25 π}{12}}{3}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{25 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 6.3.3.2

$\frac{25 π}{12} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$\frac{25 π}{12}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{25 π}{12 \cdot 3}$

ステップ 6.3.3.2.2

$12$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{25 π}{36}$

ステップ 7

$\cos (3 x - \frac{π}{3})$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $3$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 3 |}$

ステップ 7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 8

$\cos (3 x - \frac{π}{3})$ 関数の周期が $\frac{2 π}{3}$ なので、両方向で $\frac{2 π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{7 π}{36} + \frac{2 π n}{3}, \frac{25 π}{36} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例