三角関数例

$5 \sin (3 x) + 6 \cos (3 x) = 1$

ステップ 1

恒等式を利用して方程式を解きます。この恒等式では、 $θ$ はグラフ上に点 $(a, b)$ をプロットしてできる角度を表しているので、 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ を利用して求めることができます。

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ および $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ ならば $a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$

ステップ 2

方程式を立て、 $θ$ の値を求めます。

$\tan^{-1} (\frac{6}{5})$

ステップ 3

$\tan^{-1} (\frac{6}{5})$ の値を求めます。

$θ = 0.87605805$

ステップ 4

式を解いて $R$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$5$ を $2$ 乗します。

$R = \sqrt{25 + {(6)}^{2}}$

ステップ 4.2

$6$ を $2$ 乗します。

$R = \sqrt{25 + 36}$

ステップ 4.3

$25$ と $36$ をたし算します。

$R = \sqrt{61}$

ステップ 5

既知数を方程式に代入します。

$(\sqrt{61}) \sin (3 x + 0.87605805) = 1$

ステップ 6

$\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ の各項を $\sqrt{61}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805) = 1$ の各項を $\sqrt{61}$ で割ります。

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\sqrt{61}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{61} \sin (3 x + 0.87605805)}{\sqrt{61}} = \frac{1}{\sqrt{61}}$

ステップ 6.2.1.2

$\sin (3 x + 0.87605805)$ を $1$ で割ります。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$\frac{1}{\sqrt{61}}$ に $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ をかけます。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{1}{\sqrt{61}} \cdot \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$

ステップ 6.3.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\frac{1}{\sqrt{61}}$ に $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ をかけます。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61} \sqrt{61}}$

ステップ 6.3.2.2

$\sqrt{61}$ を $1$ 乗します。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61}}$

ステップ 6.3.2.3

$\sqrt{61}$ を $1$ 乗します。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1}}$

ステップ 6.3.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1 + 1}}$

ステップ 6.3.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{2}}$

ステップ 6.3.2.6

${\sqrt{61}}^{2}$ を $61$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{61}$ を $61^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{{(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6.3.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.3.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.3.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61^{1}}$

ステップ 6.3.2.6.5

指数を求めます。

$\sin (3 x + 0.87605805) = \frac{\sqrt{61}}{61}$

ステップ 7

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$3 x + 0.87605805 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$

ステップ 8

右辺を簡約します。

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ステップ 8.1

$\sin^{-1} (\frac{\sqrt{61}}{61})$ の値を求めます。

$3 x + 0.87605805 = 0.12838931$

ステップ 9

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

方程式の両辺から $0.87605805$ を引きます。

$3 x = 0.12838931 - 0.87605805$

ステップ 9.2

$0.12838931$ から $0.87605805$ を引きます。

$3 x = - 0.74766873$

ステップ 10

$3 x = - 0.74766873$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.1

$3 x = - 0.74766873$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

ステップ 10.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 0.74766873}{3}$

ステップ 10.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 0.74766873}{3}$

ステップ 10.3

右辺を簡約します。

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ステップ 10.3.1

$- 0.74766873$ を $3$ で割ります。

$x = - 0.24922291$

ステップ 11

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$3 x + 0.87605805 = (3.14159265) - 0.12838931$

ステップ 12

$x$ について解きます。

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ステップ 12.1

$3.14159265$ から $0.12838931$ を引きます。

$3 x + 0.87605805 = 3.01320333$

ステップ 12.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

方程式の両辺から $0.87605805$ を引きます。

$3 x = 3.01320333 - 0.87605805$

ステップ 12.2.2

$3.01320333$ から $0.87605805$ を引きます。

$3 x = 2.13714528$

ステップ 12.3

$3 x = 2.13714528$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 12.3.1

$3 x = 2.13714528$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

ステップ 12.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2.13714528}{3}$

ステップ 12.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2.13714528}{3}$

ステップ 12.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.3.1

$2.13714528$ を $3$ で割ります。

$x = 0.71238176$

ステップ 13

$\sin (3 x + 0.87605805)$ の周期を求めます。

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ステップ 13.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 13.2

周期の公式の $b$ を $3$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 3 |}$

ステップ 13.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 14

$\frac{2 π}{3}$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 14.1

$\frac{2 π}{3}$ を $- 0.24922291$ に足し、正の角を求めます。

$- 0.24922291 + \frac{2 π}{3}$

ステップ 14.2

$\frac{2 π}{3}$ から $0.24922291$ を引きます。

$1.84517219$

ステップ 14.3

新しい角をリストします。

$x = 1.84517219$

ステップ 15

$\sin (3 x + 0.87605805)$ 関数の周期が $\frac{2 π}{3}$ なので、両方向で $\frac{2 π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.71238176 + \frac{2 π n}{3}, 1.84517219 + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例