三角関数例

$9 \sin^{2} (x) \tan (x) = 16 \tan (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $16 \tan (x)$ を引きます。

$9 \sin^{2} (x) \tan (x) - 16 \tan (x) = 0$

ステップ 2

$9 \sin^{2} (x) \tan (x) - 16 \tan (x)$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$\tan (x)$ を $9 \sin^{2} (x) \tan (x) - 16 \tan (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$\tan (x)$ を $9 \sin^{2} (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$\tan (x) (9 \sin^{2} (x)) - 16 \tan (x) = 0$

ステップ 2.1.2

$\tan (x)$ を $- 16 \tan (x)$ で因数分解します。

$\tan (x) (9 \sin^{2} (x)) + \tan (x) \cdot - 16 = 0$

ステップ 2.1.3

$\tan (x)$ を $\tan (x) (9 \sin^{2} (x)) + \tan (x) \cdot - 16$ で因数分解します。

$\tan (x) (9 \sin^{2} (x) - 16) = 0$

ステップ 2.2

$9 \sin^{2} (x)$ を ${(3 \sin (x))}^{2}$ に書き換えます。

$\tan (x) ({(3 \sin (x))}^{2} - 16) = 0$

ステップ 2.3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\tan (x) ({(3 \sin (x))}^{2} - 4^{2}) = 0$

ステップ 2.4

因数分解。

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ステップ 2.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3 \sin (x)$ であり、 $b = 4$ です。

$\tan (x) ((3 \sin (x) + 4) (3 \sin (x) - 4)) = 0$

ステップ 2.4.2

不要な括弧を削除します。

$\tan (x) (3 \sin (x) + 4) (3 \sin (x) - 4) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan (x) = 0$

$3 \sin (x) + 4 = 0$

$3 \sin (x) - 4 = 0$

ステップ 4

$\tan (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\tan (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\tan (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.2.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + 0$

ステップ 4.2.4

$π$ と $0$ をたし算します。

$x = π$

ステップ 4.2.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 4.2.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 4.2.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$3 \sin (x) + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$3 \sin (x) + 4$ が $0$ に等しいとします。

$3 \sin (x) + 4 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $3 \sin (x) + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$3 \sin (x) = - 4$

ステップ 5.2.2

$3 \sin (x) = - 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$3 \sin (x) = - 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 4}{3}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 4}{3}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 4}{3}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (x) = - \frac{4}{3}$

ステップ 5.2.3

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- \frac{4}{3}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 6

最終解は $\tan (x) (3 \sin (x) + 4) (3 \sin (x) - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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