三角関数例

$8 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) = 2$

ステップ 1

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$8 {(u)}^{2} - 4 u = 2$

ステップ 2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$8 u^{2} - 4 u - 2 = 0$

ステップ 3

$2$ を $8 u^{2} - 4 u - 2$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$2$ を $8 u^{2}$ で因数分解します。

$2 (4 u^{2}) - 4 u - 2 = 0$

ステップ 3.2

$2$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) - 2 = 0$

ステップ 3.3

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u) + 2 (- 1) = 0$

ステップ 3.4

$2$ を $2 (4 u^{2}) + 2 (- 2 u)$ で因数分解します。

$2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1) = 0$

ステップ 3.5

$2$ を $2 (4 u^{2} - 2 u) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

ステップ 4

$2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$2 (4 u^{2} - 2 u - 1) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (4 u^{2} - 2 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.2.1.2

$4 u^{2} - 2 u - 1$ を $1$ で割ります。

$4 u^{2} - 2 u - 1 = \frac{0}{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$4 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

ステップ 5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6

$a = 4$ 、 $b = - 2$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 7.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 7.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 7.1.2.2

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

ステップ 7.1.3

$4$ と $16$ をたし算します。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

ステップ 7.1.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 7.1.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

ステップ 7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

ステップ 7.2

$2$ に $4$ をかけます。

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

ステップ 7.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ を簡約します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

ステップ 8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

ステップ 9

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

ステップ 10

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

ステップ 11

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 11.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

ステップ 11.2

右辺を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\arcsin (\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ の値を求めます。

$x = \frac{3 π}{10}$

ステップ 11.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{3 π}{10}$

ステップ 11.4

$π - \frac{3 π}{10}$ を簡約します。

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ステップ 11.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{10}{10}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

ステップ 11.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 11.4.2.1

$π$ と $\frac{10}{10}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

ステップ 11.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 10 - 3 π}{10}$

ステップ 11.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 11.4.3.1

$10$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{10 \cdot π - 3 π}{10}$

ステップ 11.4.3.2

$10 π$ から $3 π$ を引きます。

$x = \frac{7 π}{10}$

ステップ 11.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 11.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 11.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 11.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 11.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 11.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 12.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

ステップ 12.2

右辺を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ の値を求めます。

$x = - \frac{π}{10}$

ステップ 12.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{10}$

ステップ 12.4

$π + \frac{π}{10}$ を簡約します。

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ステップ 12.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{10}{10}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{10}{10} + \frac{π}{10}$

ステップ 12.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 12.4.2.1

$π$ と $\frac{10}{10}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 10}{10} + \frac{π}{10}$

ステップ 12.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 10 + π}{10}$

ステップ 12.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 12.4.3.1

$10$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{10 \cdot π + π}{10}$

ステップ 12.4.3.2

$10 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{11 π}{10}$

ステップ 12.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 12.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 12.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 12.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 12.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 12.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 12.6.1

$2 π$ を $- \frac{π}{10}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{10} + 2 π$

ステップ 12.6.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{10}{10}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{π}{10}$

ステップ 12.6.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.3.1

$2 π$ と $\frac{10}{10}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{π}{10}$

ステップ 12.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 10 - π}{10}$

ステップ 12.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.6.4.1

$10$ に $2$ をかけます。

$\frac{20 π - π}{10}$

ステップ 12.6.4.2

$20 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{19 π}{10}$

ステップ 12.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{19 π}{10}$

ステップ 12.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

すべての解をまとめます。

$x = \frac{3 π}{10} + 2 π n, \frac{7 π}{10} + 2 π n, \frac{11 π}{10} + 2 π n, \frac{19 π}{10} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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