三角関数例

$8 \sin^{2} (\frac{x}{2}) - 10 \sin (\frac{x}{2}) + 3 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u = \sin (\frac{x}{2})$ とします。 $u$ を $\sin (\frac{x}{2})$ に代入します。

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

ステップ 1.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ で和が $b = - 10$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$- 10$ を $- 10 u$ で因数分解します。

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

ステップ 1.2.1.2

$- 10$ を $- 4$ プラス $- 6$ に書き換える

$8 u^{2} + (- 4 - 6) u + 3 = 0$

ステップ 1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$8 u^{2} - 4 u - 6 u + 3 = 0$

ステップ 1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(8 u^{2} - 4 u) - 6 u + 3 = 0$

ステップ 1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$4 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

ステップ 1.2.3

最大公約数 $2 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 u - 1) (4 u - 3) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (\frac{x}{2})$ で置き換えます。

$(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

ステップ 3

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$

ステップ 3.2.2

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$\sin (\frac{x}{2})$ を $1$ で割ります。

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.5

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.6

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.6.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.2.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

ステップ 3.2.6.2.1.2

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.2.6.2.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 3.2.7

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.8

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

ステップ 3.2.8.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

ステップ 3.2.8.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 (π - \frac{π}{6})$

ステップ 3.2.8.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.2.1

$2 (π - \frac{π}{6})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.2.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = 2 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

ステップ 3.2.8.2.2.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.2.1.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = 2 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

ステップ 3.2.8.2.2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 3.2.8.2.2.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.2.1.2.3.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

ステップ 3.2.8.2.2.1.2.3.2

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.2.8.2.2.1.2.3.3

式を書き換えます。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

ステップ 3.2.8.2.2.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.8.2.2.1.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{3}$

ステップ 3.2.8.2.2.1.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 3.2.9

$\sin (\frac{x}{2})$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.9.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.9.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 3.2.9.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.2.9.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 3.2.9.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 3.2.10

$\sin (\frac{x}{2})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ が $0$ に等しいとします。

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$

ステップ 4.2.2

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$\sin (\frac{x}{2})$ を $1$ で割ります。

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{3}{4}$

ステップ 4.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{3}{4})$

ステップ 4.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$\arcsin (\frac{3}{4})$ の値を求めます。

$\frac{x}{2} = 0.84806207$

ステップ 4.2.5

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

ステップ 4.2.6

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

ステップ 4.2.6.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 \cdot 0.84806207$

ステップ 4.2.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.2.1

$2$ に $0.84806207$ をかけます。

$x = 1.69612415$

ステップ 4.2.7

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} = (3.14159265) - 0.84806207$

ステップ 4.2.8

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

ステップ 4.2.8.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

ステップ 4.2.8.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

ステップ 4.2.8.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.2.2.1

$2 ((3.14159265) - 0.84806207)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.2.2.1.1

$3.14159265$ から $0.84806207$ を引きます。

$x = 2 \cdot 2.29353057$

ステップ 4.2.8.2.2.1.2

$2$ に $2.29353057$ をかけます。

$x = 4.58706114$

ステップ 4.2.9

$\sin (\frac{x}{2})$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.9.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.9.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 4.2.9.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.2.9.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 4.2.9.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 4.2.10

$\sin (\frac{x}{2})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

最終解は $(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n, 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例