三角関数例

$4 \sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1

$4 \sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$4 \sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{4}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{4}$

ステップ 1.2.1.2

$\sin^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin^{2} (x) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{4}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.2.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.3.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\sin^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{8}$

ステップ 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{8}}$

ステップ 3

$\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{8}}$ を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{8}}$ を $\frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{\sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$

ステップ 3.2

$\sqrt{\sqrt{2}}$ を $\sqrt[4]{2}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{8}}$

ステップ 3.3

分母を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{4 (2)}}$

ステップ 3.3.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 3.4

$\frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\frac{\sqrt[4]{2}}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.5.2

$\sqrt{2}$ を移動させます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 3.5.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

ステップ 3.5.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

ステップ 3.5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.5.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.5.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.5.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.7.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.7.4.2

式を書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

ステップ 3.5.7.5

指数を求めます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1

最小共通指数 $4$ を利用して式を書き換えます。

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ステップ 3.6.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6.1.2

$2^{\frac{1}{2}}$ を $2^{\frac{2}{4}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6.1.3

$2^{\frac{2}{4}}$ を $\sqrt[4]{2^{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2} \sqrt[4]{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2 \cdot 2^{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6.3

指数を足して $2$ に $2^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.6.3.1

$2$ に $2^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{1} \cdot 2^{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{1 + 2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{3}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{2^{3}}}{4}$

ステップ 3.7.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

ステップ 4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

ステップ 4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

ステップ 4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}, - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

ステップ 5

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$

ステップ 6

$\sin (x) = \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt[4]{8}}{4})$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt[4]{8}}{4})$ の値を求めます。

$x = 0.43393925$

ステップ 6.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) - 0.43393925$

ステップ 6.4

$x$ について解きます。

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ステップ 6.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 - 0.43393925$

ステップ 6.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) - 0.43393925$

ステップ 6.4.3

$3.14159265$ から $0.43393925$ を引きます。

$x = 2.70765339$

ステップ 6.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.43393925 + 2 π n, 2.70765339 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$\sin (x) = - \frac{\sqrt[4]{8}}{4}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt[4]{8}}{4})$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt[4]{8}}{4})$ の値を求めます。

$x = - 0.43393925$

ステップ 7.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265$

ステップ 7.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 7.4.1

$2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265 - 2 π$

ステップ 7.4.2

$3.5755319$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 (3.14159265) + 0.43393925 + 3.14159265$ と隣接します。

$x = 3.5755319$

ステップ 7.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 7.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 7.6.1

$2 π$ を $- 0.43393925$ に足し、正の角を求めます。

$- 0.43393925 + 2 π$

ステップ 7.6.2

$2 π$ から $0.43393925$ を引きます。

$5.84924605$

ステップ 7.6.3

新しい角をリストします。

$x = 5.84924605$

ステップ 7.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 3.5755319 + 2 π n, 5.84924605 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

すべての解をまとめます。

$x = 0.43393925 + 2 π n, 2.70765339 + 2 π n, 3.5755319 + 2 π n, 5.84924605 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

解をまとめます。

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ステップ 9.1

$3.5755319 + 2 π n$ と $0.43393925 + π n$ を $0.43393925 + 2 π n$ にまとめます。

$x = 0.43393925 + π n, 2.70765339 + 2 π n, 5.84924605 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9.2

$5.84924605 + 2 π n$ と $2.70765339 + π n$ を $2.70765339 + 2 π n$ にまとめます。

$x = 0.43393925 + π n, 2.70765339 + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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