三角関数例

$4 \sin^{2} (2 x) = 1$

ステップ 1

$4 \sin^{2} (2 x) = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$4 \sin^{2} (2 x) = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \sin^{2} (2 x)}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sin^{2} (2 x)}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 1.2.1.2

$\sin^{2} (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\sin^{2} (2 x) = \frac{1}{4}$

ステップ 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

ステップ 3

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

ステップ 3.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

ステップ 3.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{2}$

ステップ 4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

ステップ 4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

ステップ 5

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 6

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$2 x = \frac{π}{6}$

ステップ 6.3

$2 x = \frac{π}{6}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$2 x = \frac{π}{6}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

ステップ 6.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 6.3.3.2

$\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$\frac{π}{6}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

ステップ 6.3.3.2.2

$6$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{12}$

ステップ 6.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$2 x = π - \frac{π}{6}$

ステップ 6.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 6.5.1.2

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 6.5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 6.5.1.4

$π \cdot 6$ から $π$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.4.1

$π$ と $6$ を並べ替えます。

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 6.5.1.4.2

$6 \cdot π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

ステップ 6.5.2

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

ステップ 6.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

ステップ 6.5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

ステップ 6.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 6.5.2.3.2

$\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.3.2.1

$\frac{5 π}{6}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

ステップ 6.5.2.3.2.2

$6$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{12}$

ステップ 6.6

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.6.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 6.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 6.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 6.6.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 6.7

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$2 x = - \frac{π}{6}$

ステップ 7.3

$2 x = - \frac{π}{6}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$2 x = - \frac{π}{6}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

ステップ 7.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

ステップ 7.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

ステップ 7.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 7.3.3.2

$- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{π}{6}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

ステップ 7.3.3.2.2

$2$ に $6$ をかけます。

$x = - \frac{π}{12}$

ステップ 7.4

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

ステップ 7.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ から $2 π$ を引きます。

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

ステップ 7.5.2

$\frac{7 π}{6}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{6} + π$ と隣接します。

$2 x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 7.5.3

$2 x = \frac{7 π}{6}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.1

$2 x = \frac{7 π}{6}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

ステップ 7.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

ステップ 7.5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

ステップ 7.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 7.5.3.3.2

$\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.3.2.1

$\frac{7 π}{6}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

ステップ 7.5.3.3.2.2

$6$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{12}$

ステップ 7.6

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.6.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 7.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 7.6.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 7.7

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1

$π$ を $- \frac{π}{12}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{12} + π$

ステップ 7.7.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{12}{12}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

ステップ 7.7.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.3.1

$π$ と $\frac{12}{12}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

ステップ 7.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

ステップ 7.7.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.4.1

$12$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

ステップ 7.7.4.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{11 π}{12}$

ステップ 7.7.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{11 π}{12}$

ステップ 7.8

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

解をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{7 π}{12} + π n$ と $\frac{π}{12} + \frac{π n}{2}$ を $\frac{π}{12} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9.2

$\frac{11 π}{12} + π n$ と $\frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ を $\frac{5 π}{12} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例