三角関数例

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sqrt{2} \cos (x) + 2 = 0$

ステップ 1

$u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$4 {(u)}^{2} - 4 \sqrt{2} u + 2 = 0$

ステップ 2

$2$ を $4 u^{2} - 4 \sqrt{2} u + 2$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$2$ を $4 u^{2}$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2}) - 4 \sqrt{2} u + 2 = 0$

ステップ 2.2

$2$ を $- 4 \sqrt{2} u$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u) + 2 = 0$

ステップ 2.3

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u) + 2 (1) = 0$

ステップ 2.4

$2$ を $2 (2 u^{2}) + 2 (- 2 \sqrt{2} u)$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u) + 2 (1) = 0$

ステップ 2.5

$2$ を $2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u) + 2 (1)$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$

ステップ 3

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 3.2.1.2

$2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1$ を $1$ で割ります。

$2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1 = \frac{0}{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$2 u^{2} - 2 \sqrt{2} u + 1 = 0$

ステップ 4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5

$a = 2$ 、 $b = - 2 \sqrt{2}$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2 \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

積の法則を $- 2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 6.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.3.4.2

式を書き換えます。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.3.5

指数を求めます。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.4

$4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.5

$- 4 \cdot 2 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 6.1.5.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.5.2

$- 8$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.6

$8$ から $8$ を引きます。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.7

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{2 \sqrt{2} \pm 0}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.1.9

$2 \sqrt{2}$ plus or minus $0$ is $2 \sqrt{2}$ .

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 6.3

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1

$2$ を $2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$u = \frac{2 (\sqrt{2})}{4}$

ステップ 6.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.3.2.2

共通因数を約分します。

$u = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.3.2.3

式を書き換えます。

$u = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 7

$\cos (x)$ を $u$ に代入します。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 8

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 9

右辺を簡約します。

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ステップ 9.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 10

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 11

$2 π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 11.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 11.2

分数をまとめます。

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ステップ 11.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 11.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 11.3

分子を簡約します。

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ステップ 11.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 11.3.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 12

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 12.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 12.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 12.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 12.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 13

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例