三角関数例

$f (2 x) = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1}$

ステップ 1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1}$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, 2 x^{2} + 1$

ステップ 2.2

括弧を削除します。

$1, 2 x^{2} + 1$

ステップ 2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$2 x^{2} + 1$

ステップ 3

$2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1}$ の各項に $2 x^{2} + 1$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1}$ の各項に $2 x^{2} + 1$ を掛けます。

$2 f x (2 x^{2} + 1) = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$2 f x (2 x^{2}) + 2 f x \cdot 1 = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

ステップ 3.2.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 f (x^{2} x) \cdot 2 + 2 f x \cdot 1 = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

ステップ 3.2.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 f (x^{2} x^{1}) \cdot 2 + 2 f x \cdot 1 = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

ステップ 3.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 f x^{2 + 1} \cdot 2 + 2 f x \cdot 1 = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

ステップ 3.2.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 f x^{3} \cdot 2 + 2 f x \cdot 1 = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 f x^{3} \cdot 2 + 2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

ステップ 3.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$4 f x^{3} + 2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2 x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$4 f x^{3} + 2 f x = \frac{2 x}{2 x^{2} + 1} (2 x^{2} + 1)$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$4 f x^{3} + 2 f x = 2 x$

ステップ 4

方程式を解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$4 f x^{3} + 2 f x - 2 x = 0$

ステップ 4.2

$2 x$ を $4 f x^{3} + 2 f x - 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2 x$ を $4 f x^{3}$ で因数分解します。

$2 x (2 f x^{2}) + 2 f x - 2 x = 0$

ステップ 4.2.2

$2 x$ を $2 f x$ で因数分解します。

$2 x (2 f x^{2}) + 2 x (f) - 2 x = 0$

ステップ 4.2.3

$2 x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$2 x (2 f x^{2}) + 2 x (f) + 2 x (- 1) = 0$

ステップ 4.2.4

$2 x$ を $2 x (2 f x^{2}) + 2 x (f)$ で因数分解します。

$2 x (2 f x^{2} + f) + 2 x (- 1) = 0$

ステップ 4.2.5

$2 x$ を $2 x (2 f x^{2} + f) + 2 x (- 1)$ で因数分解します。

$2 x (2 f x^{2} + f - 1) = 0$

ステップ 4.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$2 f x^{2} + f - 1 = 0$

ステップ 4.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 4.5

$2 f x^{2} + f - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$2 f x^{2} + f - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 f x^{2} + f - 1 = 0$

ステップ 4.5.2

$x$ について $2 f x^{2} + f - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.5.2.1.1

方程式の両辺から $f$ を引きます。

$2 f x^{2} - 1 = - f$

ステップ 4.5.2.1.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 f x^{2} = - f + 1$

ステップ 4.5.2.2

$2 f x^{2} = - f + 1$ の各項を $2 f$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.5.2.2.1

$2 f x^{2} = - f + 1$ の各項を $2 f$ で割ります。

$\frac{2 f x^{2}}{2 f} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

ステップ 4.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 f x^{2}}{2 f} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

ステップ 4.5.2.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{f x^{2}}{f} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

ステップ 4.5.2.2.2.2

$f$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{f x^{2}}{f} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

ステップ 4.5.2.2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

ステップ 4.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.3.1.1

$f$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{- f}{2 f} + \frac{1}{2 f}$

ステップ 4.5.2.2.3.1.1.2

式を書き換えます。

$x^{2} = \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2 f}$

ステップ 4.5.2.2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 f}$

ステップ 4.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 f}}$

ステップ 4.5.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 f}}$ を簡約します。

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ステップ 4.5.2.4.1

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{f}{f}$ を掛けます。

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2} \cdot \frac{f}{f} + \frac{1}{2 f}}$

ステップ 4.5.2.4.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{f}{f}$ をかけます。

$x = \pm \sqrt{- \frac{f}{2 f} + \frac{1}{2 f}}$

ステップ 4.5.2.4.3

公分母の分子をまとめます。

$x = \pm \sqrt{\frac{- f + 1}{2 f}}$

ステップ 4.5.2.4.4

$\sqrt{\frac{- f + 1}{2 f}}$ を $\frac{\sqrt{- f + 1}}{\sqrt{2 f}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1}}{\sqrt{2 f}}$

ステップ 4.5.2.4.5

$\frac{\sqrt{- f + 1}}{\sqrt{2 f}}$ に $\frac{\sqrt{2 f}}{\sqrt{2 f}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1}}{\sqrt{2 f}} \cdot \frac{\sqrt{2 f}}{\sqrt{2 f}}$

ステップ 4.5.2.4.6

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.4.6.1

$\frac{\sqrt{- f + 1}}{\sqrt{2 f}}$ に $\frac{\sqrt{2 f}}{\sqrt{2 f}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{\sqrt{2 f} \sqrt{2 f}}$

ステップ 4.5.2.4.6.2

$\sqrt{2 f}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{\sqrt{2 f}}^{1} \sqrt{2 f}}$

ステップ 4.5.2.4.6.3

$\sqrt{2 f}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{\sqrt{2 f}}^{1} {\sqrt{2 f}}^{1}}$

ステップ 4.5.2.4.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{\sqrt{2 f}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.5.2.4.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{\sqrt{2 f}}^{2}}$

ステップ 4.5.2.4.6.6

${\sqrt{2 f}}^{2}$ を $2 f$ に書き換えます。

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ステップ 4.5.2.4.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 f}$ を ${(2 f)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{({(2 f)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.5.2.4.6.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{(2 f)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.5.2.4.6.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{(2 f)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.5.2.4.6.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.4.6.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{(2 f)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.5.2.4.6.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{{(2 f)}^{1}}$

ステップ 4.5.2.4.6.6.5

簡約します。

$x = \pm \frac{\sqrt{- f + 1} \sqrt{2 f}}{2 f}$

ステップ 4.5.2.4.7

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{(- f + 1) \cdot 2 f}}{2 f}$

ステップ 4.5.2.4.8

$\pm \frac{\sqrt{(- f + 1) \cdot 2 f}}{2 f}$ の因数を並べ替えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 f (- f + 1)}}{2 f}$

ステップ 4.5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。