三角関数例

$\sin (x) \cos (\frac{π}{7}) - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\cos (\frac{π}{7})$ の値を求めます。

$\sin (x) \cdot 0.90096886 - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2

$0.90096886$ を $\sin (x)$ の左に移動させます。

$0.90096886 \cdot \sin (x) - \sin (\frac{π}{7}) \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.3

$\sin (\frac{π}{7})$ の値を求めます。

$0.90096886 \sin (x) - 1 \cdot (0.43388373 \cos (x)) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4

$- 1$ に $0.43388373$ をかけます。

$0.90096886 \sin (x) - 0.43388373 \cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2

恒等式を利用して方程式を解きます。この恒等式では、 $θ$ はグラフ上に点 $(a, b)$ をプロットしてできる角度を表しているので、 $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ を利用して求めることができます。

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ および $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ ならば $a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$

ステップ 3

方程式を立て、 $θ$ の値を求めます。

$\tan^{-1} (- \frac{0.43388373}{0.90096886})$

ステップ 4

逆正切をとり、 $θ$ の方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0.43388373$ を $0.90096886$ で割ります。

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 0.48157461)$

ステップ 4.2

$- 1$ に $0.48157461$ をかけます。

$θ = \tan^{-1} (- 0.48157461)$

ステップ 4.3

$\tan^{-1} (- 0.48157461)$ の値を求めます。

$θ = - \frac{π}{7}$

ステップ 5

式を解いて $R$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$0.90096886$ を $2$ 乗します。

$R = \sqrt{0.8117449 + {(- 0.43388373)}^{2}}$

ステップ 5.2

$- 0.43388373$ を $2$ 乗します。

$R = \sqrt{0.8117449 + 0.18825509}$

ステップ 5.3

$0.8117449$ と $0.18825509$ をたし算します。

$R = \sqrt{1}$

ステップ 6

既知数を方程式に代入します。

$(\sqrt{1}) \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 7

$\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の各項を $\sqrt{1}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の各項を $\sqrt{1}$ で割ります。

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7})}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\sqrt{1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{1} \sin (x - \frac{π}{7})}{\sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

ステップ 7.2.1.2

$\sin (x - \frac{π}{7})$ を $1$ で割ります。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

ステップ 7.3.2

$\frac{1}{\sqrt{1}}$ に $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ をかけます。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}})$

ステップ 7.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 7.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{1}}$ に $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}}$ をかけます。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1} \sqrt{1}}$

ステップ 7.3.3.2

$\sqrt{1}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} \sqrt{1}}$

ステップ 7.3.3.3

$\sqrt{1}$ を $1$ 乗します。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1} {\sqrt{1}}^{1}}$

ステップ 7.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{1 + 1}}$

ステップ 7.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{\sqrt{1}}^{2}}$

ステップ 7.3.3.6

${\sqrt{1}}^{2}$ を $1$ に書き換えます。

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ステップ 7.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1}$ を $1^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{{(1^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 7.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1^{1}}$

ステップ 7.3.3.6.5

指数を求めます。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{1}}{1}$

ステップ 7.3.4

根の値を求めます。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{1}$

ステップ 7.3.5

$1$ を $1$ で割ります。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1$

ステップ 7.3.6

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\sin (x - \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 8

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x - \frac{π}{7} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 9

右辺を簡約します。

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ステップ 9.1

$\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x - \frac{π}{7} = \frac{π}{4}$

ステップ 10

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 10.1

方程式の両辺に $\frac{π}{7}$ を足します。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π}{7}$

ステップ 10.2

$\frac{π}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7}$

ステップ 10.3

$\frac{π}{7}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 10.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $28$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 10.4.1

$\frac{π}{4}$ に $\frac{7}{7}$ をかけます。

$x = \frac{π \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 10.4.2

$4$ に $7$ をかけます。

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 10.4.3

$\frac{π}{7}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{7 \cdot 4}$

ステップ 10.4.4

$7$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{28}$

ステップ 10.5

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 7 + π \cdot 4}{28}$

ステップ 10.6

分子を簡約します。

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ステップ 10.6.1

$7$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{7 \cdot π + π \cdot 4}{28}$

ステップ 10.6.2

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{7 π + 4 \cdot π}{28}$

ステップ 10.6.3

$7 π$ と $4 π$ をたし算します。

$x = \frac{11 π}{28}$

ステップ 11

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x - \frac{π}{7} = π - \frac{π}{4}$

ステップ 12

$x$ について解きます。

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ステップ 12.1

$π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 12.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x - \frac{π}{7} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 12.1.2

分数をまとめます。

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ステップ 12.1.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x - \frac{π}{7} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 12.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x - \frac{π}{7} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 12.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 12.1.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x - \frac{π}{7} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 12.1.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x - \frac{π}{7} = \frac{3 π}{4}$

ステップ 12.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 12.2.1

方程式の両辺に $\frac{π}{7}$ を足します。

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{7}$

ステップ 12.2.2

$\frac{3 π}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7}$

ステップ 12.2.3

$\frac{π}{7}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{7}{7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 12.2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $28$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 12.2.4.1

$\frac{3 π}{4}$ に $\frac{7}{7}$ をかけます。

$x = \frac{3 π \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 12.2.4.2

$4$ に $7$ をかけます。

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π}{7} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 12.2.4.3

$\frac{π}{7}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{7 \cdot 4}$

ステップ 12.2.4.4

$7$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{3 π \cdot 7}{28} + \frac{π \cdot 4}{28}$

ステップ 12.2.5

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{3 π \cdot 7 + π \cdot 4}{28}$

ステップ 12.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.6.1

$7$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{21 π + π \cdot 4}{28}$

ステップ 12.2.6.2

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{21 π + 4 \cdot π}{28}$

ステップ 12.2.6.3

$21 π$ と $4 π$ をたし算します。

$x = \frac{25 π}{28}$

ステップ 13

$\sin (x - \frac{π}{7})$ の周期を求めます。

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ステップ 13.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 13.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 13.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 13.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 14

$\sin (x - \frac{π}{7})$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{11 π}{28} + 2 π n, \frac{25 π}{28} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例