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三角関数 例
ステップ 1
ステップ 1.1
方程式の両辺にを足します。
ステップ 1.2
正弦と余弦に関してを書き換えます。
ステップ 1.3
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 1.4
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 1.5
の適した因数を掛けて、各式をを公分母とする式で書きます。
ステップ 1.5.1
にをかけます。
ステップ 1.5.2
にをかけます。
ステップ 1.5.3
の因数を並べ替えます。
ステップ 1.6
公分母の分子をまとめます。
ステップ 1.7
分子を簡約します。
ステップ 1.7.1
分配則を当てはめます。
ステップ 1.7.2
にをかけます。
ステップ 2
分子を0に等しくします。
ステップ 3
ステップ 3.1
を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。
ステップ 3.1.1
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 3.1.2
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 3.2
方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。
ステップ 3.3
方程式の各辺を簡約します。
ステップ 3.3.1
を利用し、をに書き換えます。
ステップ 3.3.2
左辺を簡約します。
ステップ 3.3.2.1
を簡約します。
ステップ 3.3.2.1.1
積の法則をに当てはめます。
ステップ 3.3.2.1.2
の指数を掛けます。
ステップ 3.3.2.1.2.1
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 3.3.2.1.2.2
の共通因数を約分します。
ステップ 3.3.2.1.2.2.1
共通因数を約分します。
ステップ 3.3.2.1.2.2.2
式を書き換えます。
ステップ 3.3.2.1.3
簡約します。
ステップ 3.3.2.1.4
分配則を当てはめます。
ステップ 3.3.2.1.5
にをかけます。
ステップ 3.3.3
右辺を簡約します。
ステップ 3.3.3.1
を簡約します。
ステップ 3.3.3.1.1
をに書き換えます。
ステップ 3.3.3.1.2
分配法則(FOIL法)を使ってを展開します。
ステップ 3.3.3.1.2.1
分配則を当てはめます。
ステップ 3.3.3.1.2.2
分配則を当てはめます。
ステップ 3.3.3.1.2.3
分配則を当てはめます。
ステップ 3.3.3.1.3
簡約し、同類項をまとめます。
ステップ 3.3.3.1.3.1
各項を簡約します。
ステップ 3.3.3.1.3.1.1
を掛けます。
ステップ 3.3.3.1.3.1.1.1
にをかけます。
ステップ 3.3.3.1.3.1.1.2
にをかけます。
ステップ 3.3.3.1.3.1.1.3
を乗します。
ステップ 3.3.3.1.3.1.1.4
を乗します。
ステップ 3.3.3.1.3.1.1.5
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 3.3.3.1.3.1.1.6
とをたし算します。
ステップ 3.3.3.1.3.1.2
を掛けます。
ステップ 3.3.3.1.3.1.2.1
にをかけます。
ステップ 3.3.3.1.3.1.2.2
にをかけます。
ステップ 3.3.3.1.3.1.2.3
を乗します。
ステップ 3.3.3.1.3.1.2.4
を乗します。
ステップ 3.3.3.1.3.1.2.5
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 3.3.3.1.3.1.2.6
とをたし算します。
ステップ 3.3.3.1.3.1.3
を掛けます。
ステップ 3.3.3.1.3.1.3.1
にをかけます。
ステップ 3.3.3.1.3.1.3.2
にをかけます。
ステップ 3.3.3.1.3.1.3.3
を乗します。
ステップ 3.3.3.1.3.1.3.4
を乗します。
ステップ 3.3.3.1.3.1.3.5
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 3.3.3.1.3.1.3.6
とをたし算します。
ステップ 3.3.3.1.3.1.4
を掛けます。
ステップ 3.3.3.1.3.1.4.1
にをかけます。
ステップ 3.3.3.1.3.1.4.2
にをかけます。
ステップ 3.3.3.1.3.1.4.3
を乗します。
ステップ 3.3.3.1.3.1.4.4
を乗します。
ステップ 3.3.3.1.3.1.4.5
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 3.3.3.1.3.1.4.6
とをたし算します。
ステップ 3.3.3.1.3.1.4.7
を乗します。
ステップ 3.3.3.1.3.1.4.8
を乗します。
ステップ 3.3.3.1.3.1.4.9
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 3.3.3.1.3.1.4.10
とをたし算します。
ステップ 3.3.3.1.3.2
とをたし算します。
ステップ 3.4
について解きます。
ステップ 3.4.1
すべての式を方程式の左辺に移動させます。
ステップ 3.4.1.1
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 3.4.1.2
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 3.4.1.3
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 3.4.2
を簡約します。
ステップ 3.4.2.1
を移動させます。
ステップ 3.4.2.2
余弦2倍角の公式を当てはめます。
ステップ 3.4.2.3
の共通因数を約分します。
ステップ 3.4.2.3.1
共通因数を約分します。
ステップ 3.4.2.3.2
式を書き換えます。
ステップ 3.4.2.4
を掛けます。
ステップ 3.4.2.5
をで因数分解します。
ステップ 3.4.2.6
をで因数分解します。
ステップ 3.4.2.7
をに書き換えます。
ステップ 3.4.2.8
ピタゴラスの定理を当てはめます。
ステップ 3.4.2.9
の因数を並べ替えます。
ステップ 3.4.2.10
からを引きます。
ステップ 3.4.3
をで因数分解します。
ステップ 3.4.3.1
式を並べ替えます。
ステップ 3.4.3.1.1
を移動させます。
ステップ 3.4.3.1.2
を移動させます。
ステップ 3.4.3.1.3
とを並べ替えます。
ステップ 3.4.3.2
をで因数分解します。
ステップ 3.4.3.3
をで因数分解します。
ステップ 3.4.3.4
をで因数分解します。
ステップ 3.4.4
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 3.4.5
をに等しくし、を解きます。
ステップ 3.4.5.1
がに等しいとします。
ステップ 3.4.5.2
についてを解きます。
ステップ 3.4.5.2.1
方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中からを取り出します。
ステップ 3.4.5.2.2
右辺を簡約します。
ステップ 3.4.5.2.2.1
の厳密値はです。
ステップ 3.4.5.2.3
余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第四象限で解を求めます。
ステップ 3.4.5.2.4
を簡約します。
ステップ 3.4.5.2.4.1
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 3.4.5.2.4.2
分数をまとめます。
ステップ 3.4.5.2.4.2.1
とをまとめます。
ステップ 3.4.5.2.4.2.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 3.4.5.2.4.3
分子を簡約します。
ステップ 3.4.5.2.4.3.1
にをかけます。
ステップ 3.4.5.2.4.3.2
からを引きます。
ステップ 3.4.5.2.5
の周期を求めます。
ステップ 3.4.5.2.5.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 3.4.5.2.5.2
周期の公式のをで置き換えます。
ステップ 3.4.5.2.5.3
絶対値は数と0の間の距離です。との間の距離はです。
ステップ 3.4.5.2.5.4
をで割ります。
ステップ 3.4.5.2.6
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 3.4.6
をに等しくし、を解きます。
ステップ 3.4.6.1
がに等しいとします。
ステップ 3.4.6.2
についてを解きます。
ステップ 3.4.6.2.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
ステップ 3.4.6.2.2
を簡約します。
ステップ 3.4.6.2.2.1
をに書き換えます。
ステップ 3.4.6.2.2.2
正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 3.4.6.2.2.3
プラスマイナスはです。
ステップ 3.4.6.2.3
方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中からを取り出します。
ステップ 3.4.6.2.4
右辺を簡約します。
ステップ 3.4.6.2.4.1
の厳密値はです。
ステップ 3.4.6.2.5
分子を0に等しくします。
ステップ 3.4.6.2.6
正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第二象限で解を求めます。
ステップ 3.4.6.2.7
について解きます。
ステップ 3.4.6.2.7.1
方程式の両辺にを掛けます。
ステップ 3.4.6.2.7.2
方程式の両辺を簡約します。
ステップ 3.4.6.2.7.2.1
左辺を簡約します。
ステップ 3.4.6.2.7.2.1.1
の共通因数を約分します。
ステップ 3.4.6.2.7.2.1.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 3.4.6.2.7.2.1.1.2
式を書き換えます。
ステップ 3.4.6.2.7.2.2
右辺を簡約します。
ステップ 3.4.6.2.7.2.2.1
からを引きます。
ステップ 3.4.6.2.8
の周期を求めます。
ステップ 3.4.6.2.8.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 3.4.6.2.8.2
周期の公式のをで置き換えます。
ステップ 3.4.6.2.8.3
は約。正の数なので絶対値を削除します
ステップ 3.4.6.2.8.4
分子に分母の逆数を掛けます。
ステップ 3.4.6.2.8.5
にをかけます。
ステップ 3.4.6.2.9
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 3.4.7
をに等しくし、を解きます。
ステップ 3.4.7.1
がに等しいとします。
ステップ 3.4.7.2
についてを解きます。
ステップ 3.4.7.2.1
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 3.4.7.2.2
方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中からを取り出します。
ステップ 3.4.7.2.3
右辺を簡約します。
ステップ 3.4.7.2.3.1
の厳密値はです。
ステップ 3.4.7.2.4
余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第三象限で解を求めます。
ステップ 3.4.7.2.5
からを引きます。
ステップ 3.4.7.2.6
の周期を求めます。
ステップ 3.4.7.2.6.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 3.4.7.2.6.2
周期の公式のをで置き換えます。
ステップ 3.4.7.2.6.3
絶対値は数と0の間の距離です。との間の距離はです。
ステップ 3.4.7.2.6.4
をで割ります。
ステップ 3.4.7.2.7
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 3.4.8
最終解はを真にするすべての値です。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 4
ステップ 4.1
とをにまとめます。
、任意の整数
ステップ 4.2
とをにまとめます。
、任意の整数
ステップ 4.3
とをにまとめます。
、任意の整数
ステップ 4.4
答えをまとめます。
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 5
各解をに代入して解き、検算します。
、任意の整数