三角関数例

$\tan (\frac{a}{2}) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$

ステップ 1

$a$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺に $\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ を足します。

$\tan (\frac{a}{2}) + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

ステップ 1.2

正弦と余弦に関して $\tan (\frac{a}{2})$ を書き換えます。

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

ステップ 1.3

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ を掛けます。

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} = 0$

ステップ 1.4

$\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ を掛けます。

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} = 0$

ステップ 1.5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$\frac{\sin (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ に $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ をかけます。

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)} \cdot \frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})} = 0$

ステップ 1.5.2

$\frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ に $\frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}$ をかけます。

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{(1 + \cos (a)) \cos (\frac{a}{2})} = 0$

ステップ 1.5.3

$(1 + \cos (a)) \cos (\frac{a}{2})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} + \frac{\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

ステップ 1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a)) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

ステップ 1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) \cdot 1 + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

ステップ 1.7.2

$\sin (\frac{a}{2})$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{a}{2}) (1 + \cos (a))} = 0$

ステップ 2

分子を0に等しくします。

$\sin (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = 0$

ステップ 3

$a$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2})$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

方程式の両辺から $\sin (\frac{a}{2})$ を引きます。

$\sin (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2})$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)$ を引きます。

$\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)$

ステップ 3.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(\sqrt{1 - \cos (a)} \cos (\frac{a}{2}))}^{2} = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

ステップ 3.3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - \cos (a)}$ を ${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2}))}^{2} = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2}))}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

積の法則を ${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}} \cos (\frac{a}{2})$ に当てはめます。

${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

${({(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.2.1

共通因数を約分します。

${(1 - \cos (a))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2.2.2

式を書き換えます。

${(1 - \cos (a))}^{1} \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.3

簡約します。

$(1 - \cos (a)) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.4

分配則を当てはめます。

$1 \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.5

$\cos^{2} (\frac{a}{2})$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

${(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

${(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))}^{2}$ を $(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ に書き換えます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

ステップ 3.3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.3.1.1

$- \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.3.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = 1 \sin (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.1.2

$\sin (\frac{a}{2})$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.1.3

$\sin (\frac{a}{2})$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.1.4

$\sin (\frac{a}{2})$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.2

$- \sin (\frac{a}{2}) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.3.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + 1 \sin (\frac{a}{2}) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.2.2

$\sin (\frac{a}{2})$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin (\frac{a}{2}) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a)) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.2.3

$\sin (\frac{a}{2})$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.2.4

$\sin (\frac{a}{2})$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2})) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.3

$- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.3.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + 1 \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.3.2

$\sin (\frac{a}{2})$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \sin (\frac{a}{2}) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.3.3

$\sin (\frac{a}{2})$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.3.4

$\sin (\frac{a}{2})$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin^{1} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.4

$- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (- \sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.3.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + 1 \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.4.2

$\sin (\frac{a}{2})$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) (\sin (\frac{a}{2}) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.4.3

$\sin (\frac{a}{2})$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{1} (\frac{a}{2}) \sin (\frac{a}{2}) \cos (a) \cos (a)$

ステップ 3.3.3.1.3.1.4.4

$\sin (\frac{a}{2})$ を $1$ 乗します。

ステップ 3.3.3.1.3.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + {\sin (\frac{a}{2})}^{1 + 1} \cos (a) \cos (a)$

ステップ 3.3.3.1.3.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) \cos (a)$

ステップ 3.3.3.1.3.1.4.7

$\cos (a)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos^{1} (a) \cos (a))$

ステップ 3.3.3.1.3.1.4.8

$\cos (a)$ を $1$ 乗します。

ステップ 3.3.3.1.3.1.4.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) {\cos (a)}^{1 + 1}$

ステップ 3.3.3.1.3.1.4.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

ステップ 3.3.3.1.3.2

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ と $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ をたし算します。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) + 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

ステップ 3.4

$a$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

方程式の両辺から $\sin^{2} (\frac{a}{2})$ を引きます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) + \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

ステップ 3.4.1.2

方程式の両辺から $2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ を引きます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) = \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$

ステップ 3.4.1.3

方程式の両辺から $\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ を引きます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

ステップ 3.4.2

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$- \sin^{2} (\frac{a}{2})$ を移動させます。

$\cos^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

ステップ 3.4.2.2

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

ステップ 3.4.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\cos (2 \frac{a}{2}) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

ステップ 3.4.2.3.2

式を書き換えます。

$\cos (a) - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

ステップ 3.4.2.4

$1$ を掛けます。

$\cos (a) \cdot 1 - \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

ステップ 3.4.2.5

$\cos (a)$ を $- \cos (a) \cos^{2} (\frac{a}{2})$ で因数分解します。

$\cos (a) \cdot 1 + \cos (a) (- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

ステップ 3.4.2.6

$\cos (a)$ を $\cos (a) \cdot 1 + \cos (a) (- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2}))$ で因数分解します。

$\cos (a) \cdot (1 - 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

ステップ 3.4.2.7

$- 1 \cos^{2} (\frac{a}{2})$ を $- \cos^{2} (\frac{a}{2})$ に書き換えます。

$\cos (a) \cdot (1 - \cos^{2} (\frac{a}{2})) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

ステップ 3.4.2.8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\cos (a) \cdot \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

ステップ 3.4.2.9

$\cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ の因数を並べ替えます。

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - 2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

ステップ 3.4.2.10

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ から $2 \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a)$ を引きます。

$- \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

ステップ 3.4.3

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ を $- \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

式を並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

$\sin^{2} (\frac{a}{2})$ を移動させます。

$- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos^{2} (a) = 0$

ステップ 3.4.3.1.2

$\sin^{2} (\frac{a}{2})$ を移動させます。

$- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

ステップ 3.4.3.1.3

$- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ と $- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ を並べ替えます。

$- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) - 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

ステップ 3.4.3.2

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ を $- 1 \cos^{2} (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ で因数分解します。

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

ステップ 3.4.3.3

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ を $- 1 \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ で因数分解します。

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 1 = 0$

ステップ 3.4.3.4

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2})$ を $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cos (a) - \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) \cdot 1$ で因数分解します。

$- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos (a) + 1) = 0$

ステップ 3.4.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (a) = 0$

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

$\cos (a) + 1 = 0$

ステップ 3.4.5

$\cos (a)$ を $0$ に等しくし、 $a$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

$\cos (a)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (a) = 0$

ステップ 3.4.5.2

$a$ について $\cos (a) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $a$ を取り出します。

$a = \arccos (0)$

ステップ 3.4.5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$a = \frac{π}{2}$

ステップ 3.4.5.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$a = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 3.4.5.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$a = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.4.5.2.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$a = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.4.5.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$a = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 3.4.5.2.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$a = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 3.4.5.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$a = \frac{3 π}{2}$

ステップ 3.4.5.2.5

$\cos (a)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.4.5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.4.5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.4.5.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.4.5.2.6

$\cos (a)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$a = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.4.6

$\sin^{2} (\frac{a}{2})$ を $0$ に等しくし、 $a$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

$\sin^{2} (\frac{a}{2})$ が $0$ に等しいとします。

$\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$

ステップ 3.4.6.2

$a$ について $\sin^{2} (\frac{a}{2}) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.4.6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.4.6.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sin (\frac{a}{2}) = \pm 0$

ステップ 3.4.6.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$\sin (\frac{a}{2}) = 0$

ステップ 3.4.6.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $a$ を取り出します。

$\frac{a}{2} = \arcsin (0)$

ステップ 3.4.6.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.2.4.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{a}{2} = 0$

ステップ 3.4.6.2.5

分子を0に等しくします。

$a = 0$

ステップ 3.4.6.2.6

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{a}{2} = π - 0$

ステップ 3.4.6.2.7

$a$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.2.7.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{a}{2} = 2 (π - 0)$

ステップ 3.4.6.2.7.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.2.7.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.2.7.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.2.7.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{a}{2} = 2 (π - 0)$

ステップ 3.4.6.2.7.2.1.1.2

式を書き換えます。

$a = 2 (π - 0)$

ステップ 3.4.6.2.7.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.2.7.2.2.1

$π$ から $0$ を引きます。

$a = 2 π$

ステップ 3.4.6.2.8

$\sin (\frac{a}{2})$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.2.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.4.6.2.8.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 3.4.6.2.8.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.4.6.2.8.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 2$

ステップ 3.4.6.2.8.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 π$

ステップ 3.4.6.2.9

$\sin (\frac{a}{2})$ 関数の周期が $4 π$ なので、両方向で $4 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$a = 4 π n, 2 π + 4 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.4.7

$\cos (a) + 1$ を $0$ に等しくし、 $a$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1

$\cos (a) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (a) + 1 = 0$

ステップ 3.4.7.2

$a$ について $\cos (a) + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\cos (a) = - 1$

ステップ 3.4.7.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $a$ を取り出します。

$a = \arccos (- 1)$

ステップ 3.4.7.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.2.3.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$a = π$

ステップ 3.4.7.2.4

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$a = 2 π - π$

ステップ 3.4.7.2.5

$2 π$ から $π$ を引きます。

$a = π$

ステップ 3.4.7.2.6

$\cos (a)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.4.7.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.4.7.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.4.7.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.4.7.2.7

$\cos (a)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$a = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.4.8

最終解は $- \cos (a) \sin^{2} (\frac{a}{2}) (\cos (a) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$a = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 4 π n, 2 π + 4 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

答えをまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ と $\frac{π}{2} + π n$ を $\frac{π}{2} + 2 π n$ にまとめます。

$a = \frac{π}{2} + π n, 4 π n, 2 π + 4 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.2

$2 π + 4 π n$ と $2 π n$ を $4 π n$ にまとめます。

$a = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.3

$π + 2 π n$ と $π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$a = \frac{π}{2} + π n, π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.4

答えをまとめます。

$a = \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

各解を $\tan (\frac{a}{2}) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (a)}}{1 + \cos (a)}$ に代入して解き、検算します。

$a = \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例