三角関数例

$\frac{\sec (x)}{\csc (x)}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \frac{\sec (y)}{\csc (y)}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\frac{\sec (y)}{\csc (y)} = x$ として書き換えます。

$\frac{\sec (y)}{\csc (y)} = x$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{\sec (y)}{\csc (y)}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

正弦と余弦に関して $\csc (y)$ を書き換えます。

$\frac{\sec (y)}{\frac{1}{\sin (y)}} = x$

ステップ 2.2.1.2

正弦と余弦に関して $\sec (y)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{\cos (y)}}{\frac{1}{\sin (y)}} = x$

ステップ 2.2.1.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (y)}$ で割ります。

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)} = x$

ステップ 2.2.1.4

$\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ を $\tan (y)$ に変換します。

$\tan (y) = x$

ステップ 2.3

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $y$ を取り出します。

$y = \arctan (x)$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x)$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \arctan (x)$ が $f (x) = \frac{\sec (x)}{\csc (x)}$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sec (x)}{\csc (x)})$

ステップ 4.2.3

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sec (x)}{\frac{1}{\sin (x)}})$

ステップ 4.2.4

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}})$

ステップ 4.2.5

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (x)}$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

ステップ 4.2.6

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$f^{- 1} (\frac{\sec (x)}{\csc (x)}) = \arctan (\tan (x))$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\arctan (x))$ の値を求めます。

$f (\arctan (x)) = \frac{\sec (\arctan (x))}{\csc (\arctan (x))}$

ステップ 4.3.3

正弦と余弦に関して $\csc (\arctan (x))$ を書き換えます。

$f (\arctan (x)) = \frac{\sec (\arctan (x))}{\frac{1}{\sin (\arctan (x))}}$

ステップ 4.3.4

正弦と余弦に関して $\sec (\arctan (x))$ を書き換えます。

$f (\arctan (x)) = \frac{\frac{1}{\cos (\arctan (x))}}{\frac{1}{\sin (\arctan (x))}}$

ステップ 4.3.5

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (\arctan (x))}$ で割ります。

$f (\arctan (x)) = \frac{\sin (\arctan (x))}{\cos (\arctan (x))}$

ステップ 4.3.6

$\frac{\sin (\arctan (x))}{\cos (\arctan (x))}$ を $\tan (\arctan (x))$ に変換します。

$f (\arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

ステップ 4.3.7

関数の正切と逆正切は逆です。

$f (\arctan (x)) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \arctan (x)$ は $f (x) = \frac{\sec (x)}{\csc (x)}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \arctan (x)$

三角関数 例

三角関数例