三角関数例

$\csc^{2} (x - 1)$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \csc^{2} (y - 1)$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\csc^{2} (y - 1) = x$ として書き換えます。

$\csc^{2} (y - 1) = x$

ステップ 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (y - 1) = \pm \sqrt{x}$

ステップ 2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\csc (y - 1) = \sqrt{x}$

ステップ 2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\csc (y - 1) = - \sqrt{x}$

ステップ 2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\csc (y - 1) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$

ステップ 2.4

各解を求め、 $y$ を解きます。

$\csc (y - 1) = \sqrt{x}$

$\csc (y - 1) = - \sqrt{x}$

ステップ 2.5

$\csc (y - 1) = \sqrt{x}$ の $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $y$ を取り出します。

$y - 1 = arccsc (\sqrt{x})$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = arccsc (\sqrt{x}) + 1$

ステップ 2.6

$\csc (y - 1) = - \sqrt{x}$ の $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $y$ を取り出します。

$y - 1 = arccsc (- \sqrt{x})$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = arccsc (- \sqrt{x}) + 1$

ステップ 2.7

すべての解をまとめます。

$y = arccsc (\sqrt{x}) + 1$

$y = arccsc (- \sqrt{x}) + 1$

$y = arccsc (\sqrt{x}) + 1$

$y = arccsc (- \sqrt{x}) + 1$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$ が $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ の値域、 $f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$ を求め、それらを比較します。

ステップ 4.2

$f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[1, \infty)$

ステップ 4.3

$arccsc (\sqrt{x}) + 1$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 4.3.2

$arccsc (\sqrt{x})$ の偏角を $- 1$ 以下として、式が定義である場所を求めます。

$\sqrt{x} \leq - 1$

ステップ 4.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x}}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

ステップ 4.3.3.2

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 1)}^{2}$

ステップ 4.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

ステップ 4.3.3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 1)}^{2}$

ステップ 4.3.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} \leq {(- 1)}^{2}$

ステップ 4.3.3.2.2.1.2

簡約します。

$x \leq {(- 1)}^{2}$

ステップ 4.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.3.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x \leq 1$

ステップ 4.3.3.3

$\sqrt{x} + 1$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.3.1

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 4.3.3.3.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 4.3.3.4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 4.3.3.5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.5.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.5.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 4.3.3.5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\sqrt{- 2} \leq - 1$

ステップ 4.3.3.5.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 4.3.3.5.2

区間 $0 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.5.2.1

区間 $0 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.5$

ステップ 4.3.3.5.2.2

$x$ を元の不等式の $0.5$ で置き換えます。

$\sqrt{0.5} \leq - 1$

ステップ 4.3.3.5.2.3

左辺 $0.70710678$ は右辺 $- 1$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 4.3.3.5.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.5.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 4.3.3.5.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\sqrt{4} \leq - 1$

ステップ 4.3.3.5.3.3

左辺 $2$ は右辺 $- 1$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 4.3.3.5.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 偽

ステップ 4.3.3.6

この区間になる数がないので、この不等式に解はありません。

解がありません

ステップ 4.3.4

$arccsc (\sqrt{x})$ の偏角を $1$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\sqrt{x} \geq 1$

ステップ 4.3.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x}}^{2} \geq 1^{2}$

ステップ 4.3.5.2

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

ステップ 4.3.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

ステップ 4.3.5.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

ステップ 4.3.5.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} \geq 1^{2}$

ステップ 4.3.5.2.2.1.2

簡約します。

$x \geq 1^{2}$

ステップ 4.3.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x \geq 1$

ステップ 4.3.5.3

$\sqrt{x} - 1$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.3.1

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 4.3.5.3.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 4.3.5.4

解はすべての真の区間からなります。

$x \geq 1$

ステップ 4.3.6

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$ の定義域が $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ の範囲に等しくないので、 $f^{- 1} (x) = arccsc (\sqrt{x}) + 1, arccsc (- \sqrt{x}) + 1$ は $f (x) = \csc^{2} (x - 1)$ の逆ではありません。

逆はありません

ステップ 5

三角関数 例

三角関数例