三角関数例

$\frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \frac{\cos (2 y)}{\sin (y)}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$ として書き換えます。

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} = x$

ステップ 2.2

両辺に $\sin (y)$ を掛けます。

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

ステップ 2.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\sin (y)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (2 y)}{\sin (y)} \sin (y) = x \sin (y)$

ステップ 2.3.1.2

式を書き換えます。

$\cos (2 y) = x \sin (y)$

ステップ 2.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$1 - 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y)$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 \sin^{2} (y) = x \sin (y) - 1$

ステップ 2.4.3

方程式の両辺から $x \sin (y)$ を引きます。

$- 2 \sin^{2} (y) - x \sin (y) = - 1$

ステップ 2.4.4

$y$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$u$ を $\sin (y)$ に代入します。

$- 2 {(u)}^{2} - x u = - 1$

ステップ 2.4.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- 2 u^{2} - x u + 1 = 0$

ステップ 2.4.4.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.4.4

$a = - 2$ 、 $b = - x$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 2.4.4.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.5.1.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 2.4.4.5.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 2.4.4.5.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 2.4.4.5.1.4

$- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.5.1.4.1

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 2.4.4.5.1.4.2

$8$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 2.4.4.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

ステップ 2.4.4.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

ステップ 2.4.4.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.6.1.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 2.4.4.6.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 2.4.4.6.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 2.4.4.6.1.4

$- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.6.1.4.1

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 2.4.4.6.1.4.2

$8$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 2.4.4.6.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

ステップ 2.4.4.6.3

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

ステップ 2.4.4.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

ステップ 2.4.4.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.7.1.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$u = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 2.4.4.7.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 2.4.4.7.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 2.4.4.7.1.4

$- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.7.1.4.1

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 2.4.4.7.1.4.2

$8$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 2.4.4.7.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$u = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{- 4}$

ステップ 2.4.4.7.3

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

ステップ 2.4.4.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

ステップ 2.4.4.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$u = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

ステップ 2.4.4.9

$\sin (y)$ を $u$ に代入します。

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}, - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

ステップ 2.4.4.10

各解を求め、 $y$ を解きます。

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

$\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$

ステップ 2.4.4.11

$\sin (y) = - \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ の $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.11.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

ステップ 2.4.4.11.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.11.2.1

$\arcsin (- \frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.11.2.1.1

分数 $\frac{x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ を2つの分数に分割します。

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

ステップ 2.4.4.11.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

ステップ 2.4.4.11.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.11.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

ステップ 2.4.4.12

$\sin (y) = - \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ の $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.12.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

ステップ 2.4.4.12.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.12.2.1

$\arcsin (- \frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.12.2.1.1

分数 $\frac{x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ を2つの分数に分割します。

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} + \frac{- \sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

ステップ 2.4.4.12.2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = \arcsin (- (\frac{x}{4} - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}))$

ステップ 2.4.4.12.2.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} - - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

ステップ 2.4.4.12.2.1.4

$- - \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.12.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + 1 \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

ステップ 2.4.4.12.2.1.4.2

$\frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4}$ に $1$ をかけます。

$y = \arcsin (- \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

ステップ 2.4.4.12.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.12.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

ステップ 2.4.4.13

すべての解をまとめます。

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

$y = \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ が $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ を求め、それらを比較します。

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

ステップ 4.3

Find the domain of the inverse.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$\sqrt{x^{2} + 8}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} + 8 \geq 0$

ステップ 4.3.1.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

不等式の両辺から $8$ を引きます。

$x^{2} \geq - 8$

ステップ 4.3.1.2.2

左辺に偶数乗があるので、実数は常に正です。

すべての実数

ステップ 4.3.1.3

$\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ の偏角を $- 1$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

ステップ 4.3.1.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.1

両辺に $4$ を掛けます。

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

ステップ 4.3.1.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.2.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

ステップ 4.3.1.4.2.1.1.2

式を書き換えます。

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

ステップ 4.3.1.4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.2.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

ステップ 4.3.1.4.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.1

不等式の両辺に $x$ を足します。

$- \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

ステップ 4.3.1.4.3.2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.4.3.3

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 8}$ を ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.4.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.3.2.1

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.3.2.1.1

積の法則を $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.4.3.3.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.4.3.3.2.1.3

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に $1$ をかけます。

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.4.3.3.2.1.4

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.3.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.4.3.3.2.1.4.2.2

式を書き換えます。

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.4.3.3.2.1.5

簡約します。

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.4.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.3.3.1

${(- 4 + x)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.3.3.1.1

${(- 4 + x)}^{2}$ を $(- 4 + x) (- 4 + x)$ に書き換えます。

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

ステップ 4.3.1.4.3.3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 4 + x) (- 4 + x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

ステップ 4.3.1.4.3.3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

ステップ 4.3.1.4.3.3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

ステップ 4.3.1.4.3.3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.1

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

ステップ 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

ステップ 4.3.1.4.3.3.3.1.3.1.3

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

ステップ 4.3.1.4.3.3.3.1.3.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

ステップ 4.3.1.4.3.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.4.1

$x$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

ステップ 4.3.1.4.3.4.2

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.4.2.1

不等式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

ステップ 4.3.1.4.3.4.2.2

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.4.2.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

ステップ 4.3.1.4.3.4.2.2.2

$16 - 8 x$ と $0$ をたし算します。

$16 - 8 x \leq 8$

ステップ 4.3.1.4.3.4.3

$x$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.4.3.1

不等式の両辺から $16$ を引きます。

$- 8 x \leq 8 - 16$

ステップ 4.3.1.4.3.4.3.2

$8$ から $16$ を引きます。

$- 8 x \leq - 8$

ステップ 4.3.1.4.3.4.4

$- 8 x \leq - 8$ の各項を $- 8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.4.4.1

$- 8 x \leq - 8$ の各項を $- 8$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

ステップ 4.3.1.4.3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.4.4.2.1

$- 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

ステップ 4.3.1.4.3.4.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

ステップ 4.3.1.4.3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.4.3.4.4.3.1

$- 8$ を $- 8$ で割ります。

$x \geq 1$

ステップ 4.3.1.4.4

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq 1$

ステップ 4.3.1.5

$\arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ の偏角を $1$ 以下として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

ステップ 4.3.1.6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.1

両辺に $4$ を掛けます。

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

ステップ 4.3.1.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.2.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

ステップ 4.3.1.6.2.1.1.2

式を書き換えます。

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

ステップ 4.3.1.6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.2.2.1

$4$ に $1$ をかけます。

$- x - \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

ステップ 4.3.1.6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.1

不等式の両辺に $x$ を足します。

$- \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

ステップ 4.3.1.6.3.2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${(- \sqrt{x^{2} + 8})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.6.3.3

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 8}$ を ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.6.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.3.2.1

${(- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.3.2.1.1

積の法則を $- {(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.6.3.3.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.6.3.3.2.1.3

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に $1$ をかけます。

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.6.3.3.2.1.4

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.3.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.6.3.3.2.1.4.2.2

式を書き換えます。

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.6.3.3.2.1.5

簡約します。

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.1.6.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.3.3.1

${(4 + x)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.3.3.1.1

${(4 + x)}^{2}$ を $(4 + x) (4 + x)$ に書き換えます。

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

ステップ 4.3.1.6.3.3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(4 + x) (4 + x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

ステップ 4.3.1.6.3.3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

ステップ 4.3.1.6.3.3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

ステップ 4.3.1.6.3.3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.1

$4$ に $4$ をかけます。

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

ステップ 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.2

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

ステップ 4.3.1.6.3.3.3.1.3.1.3

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

ステップ 4.3.1.6.3.3.3.1.3.2

$4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

ステップ 4.3.1.6.3.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.4.1

$x$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

ステップ 4.3.1.6.3.4.2

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.4.2.1

不等式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

ステップ 4.3.1.6.3.4.2.2

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.4.2.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

ステップ 4.3.1.6.3.4.2.2.2

$16 + 8 x$ と $0$ をたし算します。

$16 + 8 x \geq 8$

ステップ 4.3.1.6.3.4.3

$x$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.4.3.1

不等式の両辺から $16$ を引きます。

$8 x \geq 8 - 16$

ステップ 4.3.1.6.3.4.3.2

$8$ から $16$ を引きます。

$8 x \geq - 8$

ステップ 4.3.1.6.3.4.4

$8 x \geq - 8$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.4.4.1

$8 x \geq - 8$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

ステップ 4.3.1.6.3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.4.4.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

ステップ 4.3.1.6.3.4.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{- 8}{8}$

ステップ 4.3.1.6.3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.3.4.4.3.1

$- 8$ を $8$ で割ります。

$x \geq - 1$

ステップ 4.3.1.6.4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$x > - 1$

ステップ 4.3.1.6.5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.5.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.5.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 4.3.1.6.5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{- (- 4) - \sqrt{{(- 4)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

ステップ 4.3.1.6.5.1.3

左辺 $- 0.22474487$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.3.1.6.5.2

区間 $x > - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.6.5.2.1

区間 $x > - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 4.3.1.6.5.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{- (0) - \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \leq 1$

ステップ 4.3.1.6.5.2.3

左辺 $- 0.70710678$ は右辺 $1$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.3.1.6.5.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 真

$x > - 1$ 真

$x < - 1$ 真

$x > - 1$ 真

ステップ 4.3.1.6.6

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 1$ または $x \geq - 1$

ステップ 4.3.1.6.7

区間をまとめます。

すべての実数

ステップ 4.3.1.7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 1]$

ステップ 4.3.2

$\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$\sqrt{x^{2} + 8}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} + 8 \geq 0$

ステップ 4.3.2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

不等式の両辺から $8$ を引きます。

$x^{2} \geq - 8$

ステップ 4.3.2.2.2

左辺に偶数乗があるので、実数は常に正です。

すべての実数

ステップ 4.3.2.3

$\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ の偏角を $- 1$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

ステップ 4.3.2.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

両辺に $4$ を掛けます。

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

ステップ 4.3.2.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.2.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \geq - 1 \cdot 4$

ステップ 4.3.2.4.2.1.1.2

式を書き換えます。

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 1 \cdot 4$

ステップ 4.3.2.4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.2.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4$

ステップ 4.3.2.4.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.1

不等式の両辺に $x$ を足します。

$\sqrt{x^{2} + 8} \geq - 4 + x$

ステップ 4.3.2.4.3.2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.4.3.3

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 8}$ を ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.4.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.3.2.1

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.3.2.1.1

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.4.3.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x^{2} + 8)}^{1} \geq {(- 4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.4.3.3.2.1.2

簡約します。

$x^{2} + 8 \geq {(- 4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.4.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.3.3.1

${(- 4 + x)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.3.3.1.1

${(- 4 + x)}^{2}$ を $(- 4 + x) (- 4 + x)$ に書き換えます。

$x^{2} + 8 \geq (- 4 + x) (- 4 + x)$

ステップ 4.3.2.4.3.3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 4 + x) (- 4 + x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 8 \geq - 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x)$

ステップ 4.3.2.4.3.3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x)$

ステップ 4.3.2.4.3.3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 8 \geq - 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

ステップ 4.3.2.4.3.3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.1

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x$

ステップ 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x$

ステップ 4.3.2.4.3.3.3.1.3.1.3

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 8 \geq 16 - 4 x - 4 x + x^{2}$

ステップ 4.3.2.4.3.3.3.1.3.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$x^{2} + 8 \geq 16 - 8 x + x^{2}$

ステップ 4.3.2.4.3.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.4.1

$x$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$16 - 8 x + x^{2} \leq x^{2} + 8$

ステップ 4.3.2.4.3.4.2

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.4.2.1

不等式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2} \leq 8$

ステップ 4.3.2.4.3.4.2.2

$16 - 8 x + x^{2} - x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.4.2.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$16 - 8 x + 0 \leq 8$

ステップ 4.3.2.4.3.4.2.2.2

$16 - 8 x$ と $0$ をたし算します。

$16 - 8 x \leq 8$

ステップ 4.3.2.4.3.4.3

$x$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.4.3.1

不等式の両辺から $16$ を引きます。

$- 8 x \leq 8 - 16$

ステップ 4.3.2.4.3.4.3.2

$8$ から $16$ を引きます。

$- 8 x \leq - 8$

ステップ 4.3.2.4.3.4.4

$- 8 x \leq - 8$ の各項を $- 8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.4.4.1

$- 8 x \leq - 8$ の各項を $- 8$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

ステップ 4.3.2.4.3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.4.4.2.1

$- 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 8 x}{- 8} \geq \frac{- 8}{- 8}$

ステップ 4.3.2.4.3.4.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{- 8}{- 8}$

ステップ 4.3.2.4.3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.3.4.4.3.1

$- 8$ を $- 8$ で割ります。

$x \geq 1$

ステップ 4.3.2.4.4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 1$

$x > 1$

ステップ 4.3.2.4.5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.5.1

区間 $x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.5.1.1

区間 $x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 4.3.2.4.5.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{- (0) + \sqrt{{(0)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

ステップ 4.3.2.4.5.1.3

左辺 $0.70710678$ は右辺 $- 1$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.3.2.4.5.2

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.5.2.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 4.3.2.4.5.2.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{- (4) + \sqrt{{(4)}^{2} + 8}}{4} \geq - 1$

ステップ 4.3.2.4.5.2.3

左辺 $0.22474487$ は右辺 $- 1$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 4.3.2.4.5.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 1$ 真

$x > 1$ 真

$x < 1$ 真

$x > 1$ 真

ステップ 4.3.2.4.6

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq 1$ または $x \geq 1$

ステップ 4.3.2.4.7

区間をまとめます。

すべての実数

ステップ 4.3.2.5

$\arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ の偏角を $1$ 以下として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \leq 1$

ステップ 4.3.2.6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1

両辺に $4$ を掛けます。

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

ステップ 4.3.2.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.2.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4} \cdot 4 \leq 1 \cdot 4$

ステップ 4.3.2.6.2.1.1.2

式を書き換えます。

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 1 \cdot 4$

ステップ 4.3.2.6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.2.2.1

$4$ に $1$ をかけます。

$- x + \sqrt{x^{2} + 8} \leq 4$

ステップ 4.3.2.6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.1

不等式の両辺に $x$ を足します。

$\sqrt{x^{2} + 8} \leq 4 + x$

ステップ 4.3.2.6.3.2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x^{2} + 8}}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.6.3.3

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 8}$ を ${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.6.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.3.2.1

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.3.2.1.1

${({(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.6.3.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x^{2} + 8)}^{1} \leq {(4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.6.3.3.2.1.2

簡約します。

$x^{2} + 8 \leq {(4 + x)}^{2}$

ステップ 4.3.2.6.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.3.3.1

${(4 + x)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.3.3.1.1

${(4 + x)}^{2}$ を $(4 + x) (4 + x)$ に書き換えます。

$x^{2} + 8 \leq (4 + x) (4 + x)$

ステップ 4.3.2.6.3.3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(4 + x) (4 + x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 8 \leq 4 (4 + x) + x (4 + x)$

ステップ 4.3.2.6.3.3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x (4 + x)$

ステップ 4.3.2.6.3.3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 8 \leq 4 \cdot 4 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

ステップ 4.3.2.6.3.3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.1

$4$ に $4$ をかけます。

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + x \cdot 4 + x \cdot x$

ステップ 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.2

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 \cdot x + x \cdot x$

ステップ 4.3.2.6.3.3.3.1.3.1.3

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + 8 \leq 16 + 4 x + 4 x + x^{2}$

ステップ 4.3.2.6.3.3.3.1.3.2

$4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$x^{2} + 8 \leq 16 + 8 x + x^{2}$

ステップ 4.3.2.6.3.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.4.1

$x$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$16 + 8 x + x^{2} \geq x^{2} + 8$

ステップ 4.3.2.6.3.4.2

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.4.2.1

不等式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2} \geq 8$

ステップ 4.3.2.6.3.4.2.2

$16 + 8 x + x^{2} - x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.4.2.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$16 + 8 x + 0 \geq 8$

ステップ 4.3.2.6.3.4.2.2.2

$16 + 8 x$ と $0$ をたし算します。

$16 + 8 x \geq 8$

ステップ 4.3.2.6.3.4.3

$x$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.4.3.1

不等式の両辺から $16$ を引きます。

$8 x \geq 8 - 16$

ステップ 4.3.2.6.3.4.3.2

$8$ から $16$ を引きます。

$8 x \geq - 8$

ステップ 4.3.2.6.3.4.4

$8 x \geq - 8$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.4.4.1

$8 x \geq - 8$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

ステップ 4.3.2.6.3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.4.4.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 8}{8}$

ステップ 4.3.2.6.3.4.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{- 8}{8}$

ステップ 4.3.2.6.3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.3.4.4.3.1

$- 8$ を $8$ で割ります。

$x \geq - 1$

ステップ 4.3.2.7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- 1, \infty)$

ステップ 4.3.3

$(- \infty, 1], [- 1, \infty)$ の和集合を求めます。

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ステップ 4.3.3.1

和集合は各区間に含まれる要素からなります。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ の定義域が $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ の範囲に等しくないので、 $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{- x - \sqrt{x^{2} + 8}}{4}), \arcsin (\frac{- x + \sqrt{x^{2} + 8}}{4})$ は $f (x) = \frac{\cos (2 x)}{\sin (x)}$ の逆ではありません。

逆はありません

ステップ 5

三角関数 例

三角関数例