三角関数例

$\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$ として書き換えます。

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} = x$

ステップ 2.2

両辺に $1 + \cot (y)$ を掛けます。

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$1 + \cot (y)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 - \cot (- y)}{1 + \cot (y)} (1 + \cot (y)) = x (1 + \cot (y))$

ステップ 2.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$1 - \cot (- y) = x (1 + \cot (y))$

ステップ 2.3.1.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.2.1

$\cot (- y)$ が奇関数なので、 $\cot (- y)$ を $- \cot (y)$ に書き換えます。

$1 - - \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

ステップ 2.3.1.1.2.2

$- - \cot (y)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.2.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 1 \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

ステップ 2.3.1.1.2.2.2

$\cot (y)$ に $1$ をかけます。

$1 + \cot (y) = x (1 + \cot (y))$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$x (1 + \cot (y))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$1 + \cot (y) = x \cdot 1 + x \cot (y)$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$1 + \cot (y) = x + x \cot (y)$

ステップ 2.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$u$ を $\cot (y)$ に代入します。

$1 + u = x + x (u)$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $x u$ を引きます。

$1 + u - x u = x$

ステップ 2.4.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u - x u = x - 1$

ステップ 2.4.4

$u$ を $u - x u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$u$ を $u^{1}$ で因数分解します。

$u \cdot 1 - x u = x - 1$

ステップ 2.4.4.2

$u$ を $- x u$ で因数分解します。

$u \cdot 1 + u (- x) = x - 1$

ステップ 2.4.4.3

$u$ を $u \cdot 1 + u (- x)$ で因数分解します。

$u (1 - x) = x - 1$

ステップ 2.4.5

$u (1 - x) = x - 1$ の各項を $1 - x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.1

$u (1 - x) = x - 1$ の各項を $1 - x$ で割ります。

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

ステップ 2.4.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.2.1

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{u (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

ステップ 2.4.5.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{x}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x}$

ステップ 2.4.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.3.1

公分母の分子をまとめます。

$u = \frac{x - 1}{1 - x}$

ステップ 2.4.5.3.2

$x - 1$ と $1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.3.2.1

$- 1$ を $x$ で因数分解します。

$u = \frac{- 1 (- x) - 1}{1 - x}$

ステップ 2.4.5.3.2.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$u = \frac{- 1 (- x) - 1 (1)}{1 - x}$

ステップ 2.4.5.3.2.3

$- 1$ を $- 1 (- x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{1 - x}$

ステップ 2.4.5.3.2.4

項を並べ替えます。

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

ステップ 2.4.5.3.2.5

共通因数を約分します。

$u = \frac{- 1 (- x + 1)}{- x + 1}$

ステップ 2.4.5.3.2.6

$- 1$ を $1$ で割ります。

$u = - 1$

ステップ 2.4.6

$\cot (y)$ を $u$ に代入します。

$\cot (y) = - 1$

ステップ 2.4.7

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $y$ を取り出します。

$y = arccot (- 1)$

ステップ 2.4.8

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.8.1

$arccot (- 1)$ の厳密値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$y = \frac{3 π}{4}$

ステップ 2.4.9

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$y = \frac{3 π}{4} - π$

ステップ 2.4.10

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.10.1

$2 π$ に $\frac{3 π}{4} - π$ をたし算します。

$y = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

ステップ 2.4.10.2

$\frac{7 π}{4}$ の結果の角度は正で $\frac{3 π}{4} - π$ と隣接します。

$y = \frac{7 π}{4}$

ステップ 2.4.11

$\cot (y)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.11.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 2.4.11.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 2.4.11.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 2.4.11.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.4.12

$\cot (y)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$y = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5

答えをまとめます。

$y = \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ が $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = \frac{3 π}{4} + π n$

ステップ 4.2.3

$\frac{3 π}{4}$ と $π n$ を並べ替えます。

$f^{- 1} (\frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}) = π n + \frac{3 π}{4}$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{3 π}{4} + π n)$ の値を求めます。

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- (\frac{3 π}{4} + π n))}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

ステップ 4.3.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{3 π}{4} + π n) = \frac{1 - \cot (- \frac{3 π}{4} - π n)}{1 + \cot (\frac{3 π}{4} + π n)}$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$ は $f (x) = \frac{1 - \cot (- x)}{1 + \cot (x)}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{3 π}{4} + π n$

三角関数 例

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