三角関数例

$- \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 y)}}{1 + \cos (6 y)}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $- \frac{\sqrt{1 - \cos (6 y)}}{1 + \cos (6 y)} = x$ として書き換えます。

$- \frac{\sqrt{1 - \cos (6 y)}}{1 + \cos (6 y)} = x$

ステップ 2.2

たすき掛けします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

右辺の分子と左辺の分母の積を、左辺の分子と右辺の分母の積と等しくしてたすき掛けします。

$x \cdot (1 + \cos (6 y)) = - \sqrt{1 - \cos (6 y)}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$x \cdot (1 + \cos (6 y))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot 1 + x \cos (6 y) = - \sqrt{1 - \cos (6 y)}$

ステップ 2.2.2.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$x + x \cos (6 y) = - \sqrt{1 - \cos (6 y)}$

ステップ 2.3

方程式を $- \sqrt{1 - \cos (6 y)} = x + x \cos (6 y)$ として書き換えます。

$- \sqrt{1 - \cos (6 y)} = x + x \cos (6 y)$

ステップ 2.4

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(- \sqrt{1 - \cos (6 y)})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

ステップ 2.5

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - \cos (6 y)}$ を ${(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- {(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

${(- {(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

積の法則を $- {(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

ステップ 2.5.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

ステップ 2.5.2.1.3

${({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に $1$ をかけます。

${({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

ステップ 2.5.2.1.4

${({(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

ステップ 2.5.2.1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

${(1 - \cos (6 y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

ステップ 2.5.2.1.4.2.2

式を書き換えます。

${(1 - \cos (6 y))}^{1} = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

ステップ 2.5.2.1.5

簡約します。

$1 - \cos (6 y) = {(x + x \cos (6 y))}^{2}$

ステップ 2.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

${(x + x \cos (6 y))}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.1

${(x + x \cos (6 y))}^{2}$ を $(x + x \cos (6 y)) (x + x \cos (6 y))$ に書き換えます。

$1 - \cos (6 y) = (x + x \cos (6 y)) (x + x \cos (6 y))$

ステップ 2.5.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + x \cos (6 y)) (x + x \cos (6 y))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$1 - \cos (6 y) = x (x + x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) (x + x \cos (6 y))$

ステップ 2.5.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$1 - \cos (6 y) = x \cdot x + x (x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) (x + x \cos (6 y))$

ステップ 2.5.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$1 - \cos (6 y) = x \cdot x + x (x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

ステップ 2.5.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x (x \cos (6 y)) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

ステップ 2.5.3.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x \cdot x \cos (6 y) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

ステップ 2.5.3.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x \cos (6 y) x + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

ステップ 2.5.3.1.3.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.3.1.3.1

$x$ を移動させます。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x \cdot x \cos (6 y) + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

ステップ 2.5.3.1.3.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x \cos (6 y) (x \cos (6 y))$

ステップ 2.5.3.1.3.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.3.1.4.1

$x$ を移動させます。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x \cdot x \cos (6 y) \cos (6 y)$

ステップ 2.5.3.1.3.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) \cos (6 y)$

ステップ 2.5.3.1.3.1.5

$x^{2} \cos (6 y) \cos (6 y)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.3.1.5.1

$\cos (6 y)$ を $1$ 乗します。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} (\cos^{1} (6 y) \cos (6 y))$

ステップ 2.5.3.1.3.1.5.2

$\cos (6 y)$ を $1$ 乗します。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} (\cos^{1} (6 y) \cos^{1} (6 y))$

ステップ 2.5.3.1.3.1.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} {\cos (6 y)}^{1 + 1}$

ステップ 2.5.3.1.3.1.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos^{2} (6 y)$

ステップ 2.5.3.1.3.2

$x^{2} \cos (6 y)$ と $x^{2} \cos (6 y)$ をたし算します。

$1 - \cos (6 y) = x^{2} + 2 x^{2} \cos (6 y) + x^{2} \cos^{2} (6 y)$

ステップ 2.6

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$u$ を $\cos (6 y)$ に代入します。

$1 - (u) = x^{2} + 2 x^{2} (u) + x^{2} {(u)}^{2}$

ステップ 2.6.2

$u$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} + 2 x^{2} u + x^{2} u^{2} = 1 - u$

ステップ 2.6.3

方程式の両辺に $u$ を足します。

$x^{2} + 2 x^{2} u + x^{2} u^{2} + u = 1$

ステップ 2.6.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} + 2 x^{2} u + x^{2} u^{2} + u - 1 = 0$

ステップ 2.6.5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.6.6

$a = x^{2}$ 、 $b = 2 x^{2} + 1$ 、および $c = x^{2} - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- (2 x^{2} + 1) \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (x^{2} - 1))}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.7.1

分配則を当てはめます。

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.4

${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ を $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.5

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.7.5.1

分配則を当てはめます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + 1) + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.5.2

分配則を当てはめます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.5.3

分配則を当てはめます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.7.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.7.6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.6.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.7.6.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.6.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.6.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.6.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.6.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.6.1.5

$2 x^{2}$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.6.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.6.2

$2 x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.7

分配則を当てはめます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.8

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.7.8.1

$x^{2}$ を移動させます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.8.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.9

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.10

$4 x^{4}$ から $4 x^{4}$ を引きます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 0 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.11

$4 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.7.12

$4 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.8

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.8.1

$\pm$ を $+$ に変更します。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.8.2

$- 1$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.8.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.8.4

$- 1$ を $- (2 x^{2}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.8.5

$- 1$ を $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ で因数分解します。

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) - 1 (- \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.8.6

$- 1$ を $- (2 x^{2} + 1) - 1 (- \sqrt{8 x^{2} + 1})$ で因数分解します。

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.8.7

$- (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})$ を $- 1 (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})$ に書き換えます。

$u = \frac{- 1 (2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.8.8

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.9.1.1

分配則を当てはめます。

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \cdot 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{{(2 x^{2} + 1)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.4

${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ を $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.9.1.5.1

分配則を当てはめます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + 1) + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.5.2

分配則を当てはめます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2} + 1) - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.5.3

分配則を当てはめます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.9.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.9.1.6.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.6.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.9.1.6.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.6.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.6.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.6.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.6.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.6.1.5

$2 x^{2}$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.6.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.6.2

$2 x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 \cdot x^{2} \cdot (x^{2} - 1)}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.7

分配則を当てはめます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2} x^{2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.8

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.9.1.8.1

$x^{2}$ を移動させます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 (x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{2 + 2} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.8.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.9

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 - 4 x^{4} + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.10

$4 x^{4}$ から $4 x^{4}$ を引きます。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 0 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.11

$4 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{4 x^{2} + 1 + 4 x^{2}}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.1.12

$4 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 \pm \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.2

$\pm$ を $-$ に変更します。

$u = \frac{- 2 x^{2} - 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.3

$- 1$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$u = \frac{- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.5

$- 1$ を $- (2 x^{2}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.6

$- 1$ を $- \sqrt{8 x^{2} + 1}$ で因数分解します。

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1) - (\sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.7

$- 1$ を $- (2 x^{2} + 1) - (\sqrt{8 x^{2} + 1})$ で因数分解します。

$u = \frac{- (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.8

$- (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})$ を $- 1 (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})$ に書き換えます。

$u = \frac{- 1 (2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.9.9

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.10

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

$u = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.11

$\cos (6 y)$ を $u$ に代入します。

$\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}, - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.12

各解を求め、 $y$ を解きます。

$\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

$\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

ステップ 2.6.13

$\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ の $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.13.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$6 y = \arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

ステップ 2.6.13.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.13.2.1

$\arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.13.2.1.1

分数 $\frac{2 x^{2} + 1 - \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

ステップ 2.6.13.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.13.2.1.2.1

分数 $\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

ステップ 2.6.13.2.1.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.13.2.1.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.13.2.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

ステップ 2.6.13.2.1.2.2.1.2

式を書き換えます。

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

ステップ 2.6.13.2.1.2.2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.13.2.1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

ステップ 2.6.13.2.1.2.2.2.2

式を書き換えます。

$6 y = \arccos (- (1 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{- \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

ステップ 2.6.13.2.1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$6 y = \arccos (- (1 + \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

ステップ 2.6.13.2.1.3

分配則を当てはめます。

$6 y = \arccos (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

ステップ 2.6.13.2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.13.2.1.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

ステップ 2.6.13.2.1.4.2

$- - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.13.2.1.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + 1 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

ステップ 2.6.13.2.1.4.2.2

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

ステップ 2.6.13.3

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.13.3.1

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

ステップ 2.6.13.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.13.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.13.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

ステップ 2.6.13.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

ステップ 2.6.14

$\cos (6 y) = - \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ の $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.14.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$6 y = \arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

ステップ 2.6.14.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.14.2.1

$\arccos (- \frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.14.2.1.1

分数 $\frac{2 x^{2} + 1 + \sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

ステップ 2.6.14.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.14.2.1.2.1

分数 $\frac{2 x^{2} + 1}{2 x^{2}}$ を2つの分数に分割します。

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

ステップ 2.6.14.2.1.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.14.2.1.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.14.2.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$6 y = \arccos (- (\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

ステップ 2.6.14.2.1.2.2.1.2

式を書き換えます。

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

ステップ 2.6.14.2.1.2.2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.14.2.1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$6 y = \arccos (- (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

ステップ 2.6.14.2.1.2.2.2.2

式を書き換えます。

$6 y = \arccos (- (1 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}))$

ステップ 2.6.14.2.1.3

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.14.2.1.3.1

分配則を当てはめます。

$6 y = \arccos (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

ステップ 2.6.14.2.1.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$

ステップ 2.6.14.3

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.14.3.1

$6 y = \arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

ステップ 2.6.14.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.14.3.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.14.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

ステップ 2.6.14.3.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

ステップ 2.6.15

すべての解をまとめます。

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

$y = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$

ステップ 4

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 4.2

$\frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$\sqrt{8 x^{2} + 1}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$8 x^{2} + 1 \geq 0$

ステップ 4.2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$8 x^{2} \geq - 1$

ステップ 4.2.2.2

$8 x^{2} \geq - 1$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$8 x^{2} \geq - 1$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

ステップ 4.2.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

ステップ 4.2.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \geq \frac{- 1}{8}$

ステップ 4.2.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} \geq - \frac{1}{8}$

ステップ 4.2.2.3

左辺に偶数乗があるので、実数は常に正です。

すべての実数

ステップ 4.2.3

$\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ の偏角を $- 1$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq - 1$

ステップ 4.2.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$\sqrt{8 x^{2} + 1}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.1

$\sqrt{8 x^{2} + 1}$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.1.1

不等式の両辺に $1$ を足します。

$- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq - 1 + 1$

ステップ 4.2.4.1.1.2

不等式の両辺に $\frac{1}{2 x^{2}}$ を足します。

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq - 1 + 1 + \frac{1}{2 x^{2}}$

ステップ 4.2.4.1.1.3

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq 0 + \frac{1}{2 x^{2}}$

ステップ 4.2.4.1.1.4

$0$ と $\frac{1}{2 x^{2}}$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \geq \frac{1}{2 x^{2}}$

ステップ 4.2.4.1.2

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \geq 1$

ステップ 4.2.4.2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{8 x^{2} + 1}}^{2} \geq 1^{2}$

ステップ 4.2.4.3

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ を ${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 1^{2}$

ステップ 4.2.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.2.1

${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.2.1.1

${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

ステップ 4.2.4.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 1^{2}$

ステップ 4.2.4.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(8 x^{2} + 1)}^{1} \geq 1^{2}$

ステップ 4.2.4.3.2.1.2

簡約します。

$8 x^{2} + 1 \geq 1^{2}$

ステップ 4.2.4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$8 x^{2} + 1 \geq 1$

ステップ 4.2.4.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.4.1

$x$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.4.1.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$8 x^{2} \geq 1 - 1$

ステップ 4.2.4.4.1.2

$1$ から $1$ を引きます。

$8 x^{2} \geq 0$

ステップ 4.2.4.4.2

$8 x^{2} \geq 0$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.4.2.1

$8 x^{2} \geq 0$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{0}{8}$

ステップ 4.2.4.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.4.2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 x^{2}}{8} \geq \frac{0}{8}$

ステップ 4.2.4.4.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \geq \frac{0}{8}$

ステップ 4.2.4.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.4.2.3.1

$0$ を $8$ で割ります。

$x^{2} \geq 0$

ステップ 4.2.4.4.3

左辺に偶数乗があるので、実数は常に正です。

すべての実数

ステップ 4.2.5

$\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})$ の偏角を $1$ 以下として、式が定義である場所を求めます。

$- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 1$

ステップ 4.2.6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

$\sqrt{8 x^{2} + 1}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.1

$\sqrt{8 x^{2} + 1}$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.1.1

不等式の両辺に $1$ を足します。

$- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 1 + 1$

ステップ 4.2.6.1.1.2

不等式の両辺に $\frac{1}{2 x^{2}}$ を足します。

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 1 + 1 + \frac{1}{2 x^{2}}$

ステップ 4.2.6.1.1.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} \leq 2 + \frac{1}{2 x^{2}}$

ステップ 4.2.6.1.2

両辺に $2 x^{2}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} (2 x^{2}) \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

ステップ 4.2.6.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.3.1.1

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} (2 x^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.3.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

ステップ 4.2.6.1.3.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.3.1.1.2.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$2 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 (x^{2})} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

ステップ 4.2.6.1.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

ステップ 4.2.6.1.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

ステップ 4.2.6.1.3.1.1.3

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.3.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{x^{2}} x^{2} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

ステップ 4.2.6.1.3.1.1.3.2

式を書き換えます。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq (2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$

ステップ 4.2.6.1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.3.2.1

$(2 + \frac{1}{2 x^{2}}) (2 x^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.3.2.1.1

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.3.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 2 (2 x^{2}) + \frac{1}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

ステップ 4.2.6.1.3.2.1.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.3.2.1.1.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + \frac{1}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

ステップ 4.2.6.1.3.2.1.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} x^{2}$

ステップ 4.2.6.1.3.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.3.2.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.3.2.1.2.1.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 2 \frac{1}{2 (x^{2})} x^{2}$

ステップ 4.2.6.1.3.2.1.2.1.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 2 \frac{1}{2 x^{2}} x^{2}$

ステップ 4.2.6.1.3.2.1.2.1.3

式を書き換えます。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 4.2.6.1.3.2.1.2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1.3.2.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 4.2.6.1.3.2.1.2.2.2

式を書き換えます。

$\sqrt{8 x^{2} + 1} \leq 4 x^{2} + 1$

ステップ 4.2.6.2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{8 x^{2} + 1}}^{2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

ステップ 4.2.6.3

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{8 x^{2} + 1}$ を ${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

ステップ 4.2.6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.3.2.1

${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.3.2.1.1

${({(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

ステップ 4.2.6.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(8 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

ステップ 4.2.6.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(8 x^{2} + 1)}^{1} \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

ステップ 4.2.6.3.2.1.2

簡約します。

$8 x^{2} + 1 \leq {(4 x^{2} + 1)}^{2}$

ステップ 4.2.6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.3.3.1

${(4 x^{2} + 1)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.3.3.1.1

${(4 x^{2} + 1)}^{2}$ を $(4 x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$8 x^{2} + 1 \leq (4 x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)$

ステップ 4.2.6.3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x^{2} + 1) (4 x^{2} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$8 x^{2} + 1 \leq 4 x^{2} (4 x^{2} + 1) + 1 (4 x^{2} + 1)$

ステップ 4.2.6.3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$8 x^{2} + 1 \leq 4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2} + 1)$

ステップ 4.2.6.3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$8 x^{2} + 1 \leq 4 x^{2} (4 x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.6.3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.3.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.3.3.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.6.3.3.1.3.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.3.3.1.3.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.6.3.3.1.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 x^{2 + 2} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.6.3.3.1.3.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$8 x^{2} + 1 \leq 4 \cdot 4 x^{4} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.6.3.3.1.3.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} \cdot 1 + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.6.3.3.1.3.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} + 1 (4 x^{2}) + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.6.3.3.1.3.1.5

$4 x^{2}$ に $1$ をかけます。

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.6.3.3.1.3.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 1$

ステップ 4.2.6.3.3.1.3.2

$4 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$8 x^{2} + 1 \leq 16 x^{4} + 8 x^{2} + 1$

ステップ 4.2.6.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.4.1

$x$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$16 x^{4} + 8 x^{2} + 1 \geq 8 x^{2} + 1$

ステップ 4.2.6.4.2

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.4.2.1

不等式の両辺から $8 x^{2}$ を引きます。

$16 x^{4} + 8 x^{2} + 1 - 8 x^{2} \geq 1$

ステップ 4.2.6.4.2.2

$16 x^{4} + 8 x^{2} + 1 - 8 x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.4.2.2.1

$8 x^{2}$ から $8 x^{2}$ を引きます。

$16 x^{4} + 0 + 1 \geq 1$

ステップ 4.2.6.4.2.2.2

$16 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$16 x^{4} + 1 \geq 1$

ステップ 4.2.6.4.3

$x$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.4.3.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$16 x^{4} \geq 1 - 1$

ステップ 4.2.6.4.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$16 x^{4} \geq 0$

ステップ 4.2.6.4.4

$16 x^{4} \geq 0$ の各項を $16$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.4.4.1

$16 x^{4} \geq 0$ の各項を $16$ で割ります。

$\frac{16 x^{4}}{16} \geq \frac{0}{16}$

ステップ 4.2.6.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.4.4.2.1

$16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{16 x^{4}}{16} \geq \frac{0}{16}$

ステップ 4.2.6.4.4.2.1.2

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} \geq \frac{0}{16}$

ステップ 4.2.6.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.4.4.3.1

$0$ を $16$ で割ります。

$x^{4} \geq 0$

ステップ 4.2.6.4.5

左辺に偶数乗があるので、実数は常に正です。

すべての実数

ステップ 4.2.7

$\frac{1}{2 x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 x^{2} = 0$

ステップ 4.2.8

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1

$2 x^{2} = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1.1

$2 x^{2} = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.2.8.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.2.8.1.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.2.8.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x^{2} = 0$

ステップ 4.2.8.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.2.8.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.8.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 4.2.8.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.2.9

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 4.3

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ の定義域が $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ の範囲に等しくないので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}, \frac{\arccos (- 1 - \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{\sqrt{8 x^{2} + 1}}{2 x^{2}})}{6}$ は $f (x) = - \frac{\sqrt{1 - \cos (6 x)}}{1 + \cos (6 x)}$ の逆ではありません。

逆はありません

ステップ 5

三角関数 例

三角関数例