三角関数例

$45^{y}$

ステップ 1

方程式を $45^{y} = x$ として書き換えます。

$45^{y} = x$

ステップ 2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (45^{y}) = \ln (x)$

ステップ 3

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (45^{y})$ を展開します。

$y \ln (45) = \ln (x)$

ステップ 4

$y \ln (45) = \ln (x)$ の各項を $\ln (45)$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$y \ln (45) = \ln (x)$ の各項を $\ln (45)$ で割ります。

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\ln (45)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (45)}{\ln (45)} = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

ステップ 4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$

ステップ 5

変数を入れ替えます。

$x = \frac{\ln (y)}{\ln (45)}$

ステップ 6

$y$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$ として書き換えます。

$\frac{\ln (y)}{\ln (45)} = x$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $\ln (45)$ を掛けます。

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

ステップ 6.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$\ln (45)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\ln (45) \frac{\ln (y)}{\ln (45)} = \ln (45) x$

ステップ 6.3.1.1.2

式を書き換えます。

$\ln (y) = \ln (45) x$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$\ln (45) x$ の因数を並べ替えます。

$\ln (y) = x \ln (45)$

ステップ 6.4

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (y)} = e^{x \ln (45)}$

ステップ 6.5

対数の定義を利用して $\ln (y) = x \ln (45)$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{x \ln (45)} = y$

ステップ 6.6

方程式を $y = e^{x \ln (45)}$ として書き換えます。

$y = e^{x \ln (45)}$

ステップ 7

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$

ステップ 8

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ が $f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ の逆か確認します。

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ステップ 8.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 8.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 8.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 8.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{(\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) \ln (45)}$

ステップ 8.2.3

$\ln (45)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\frac{\ln (x)}{\ln (45)} \cdot \ln (45)}$

ステップ 8.2.3.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = e^{\ln (x)}$

ステップ 8.2.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f^{- 1} (\frac{\ln (x)}{\ln (45)}) = x$

ステップ 8.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 8.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (e^{x \ln (45)})$ の値を求めます。

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{\ln (e^{x \ln (45)})}{\ln (45)}$

ステップ 8.3.3

$x \ln (45)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x \ln (45)})$ を展開します。

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

ステップ 8.3.4

$\ln (45)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (e^{x \ln (45)}) = \frac{x \ln (45) \ln (e)}{\ln (45)}$

ステップ 8.3.4.2

$x \ln (e)$ を $1$ で割ります。

$f (e^{x \ln (45)}) = x \ln (e)$

ステップ 8.3.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (e^{x \ln (45)}) = x \cdot 1$

ステップ 8.3.6

$x$ に $1$ をかけます。

$f (e^{x \ln (45)}) = x$

ステップ 8.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$ は $f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (45)}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = e^{x \ln (45)}$

三角関数 例

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