三角関数例

$2 \sec^{2} (x)$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 2 \sec^{2} (y)$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $2 \sec^{2} (y) = x$ として書き換えます。

$2 \sec^{2} (y) = x$

ステップ 2.2

$2 \sec^{2} (y) = x$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2 \sec^{2} (y) = x$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sec^{2} (y)}{2} = \frac{x}{2}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sec^{2} (y)}{2} = \frac{x}{2}$

ステップ 2.2.2.1.2

$\sec^{2} (y)$ を $1$ で割ります。

$\sec^{2} (y) = \frac{x}{2}$

ステップ 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (y) = \pm \sqrt{\frac{x}{2}}$

ステップ 2.4

$\pm \sqrt{\frac{x}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\sqrt{\frac{x}{2}}$ を $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.4.2

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.4.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 2.4.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 2.4.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 2.4.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.4.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 2.4.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.4.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.4.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.4.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 2.4.3.6.5

指数を求めます。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.4.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 2}}{2}$

ステップ 2.4.5

$\pm \frac{\sqrt{x \cdot 2}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{2 x}}{2}$

ステップ 2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sec (y) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$

ステップ 2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sec (y) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$

ステップ 2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sec (y) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}, - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$

ステップ 2.6

各解を求め、 $y$ を解きます。

$\sec (y) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$

$\sec (y) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$

ステップ 2.7

$\sec (y) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ の $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $y$ を取り出します。

$y = arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2})$

ステップ 2.8

$\sec (y) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ の $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $y$ を取り出します。

$y = arcsec (- \frac{\sqrt{2 x}}{2})$

ステップ 2.9

すべての解をまとめます。

$y = arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2})$

$y = arcsec (- \frac{\sqrt{2 x}}{2})$

$y = arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2})$

$y = arcsec (- \frac{\sqrt{2 x}}{2})$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2}), arcsec (- \frac{\sqrt{2 x}}{2})$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2}), arcsec (- \frac{\sqrt{2 x}}{2})$ が $f (x) = 2 \sec^{2} (x)$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = 2 \sec^{2} (x)$ の値域、 $f^{- 1} (x) = arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2}), arcsec (- \frac{\sqrt{2 x}}{2})$ を求め、それらを比較します。

ステップ 4.2

$f (x) = 2 \sec^{2} (x)$ の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[2, \infty)$

ステップ 4.3

$arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2})$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\sqrt{2 x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2 x \geq 0$

ステップ 4.3.2

$2 x \geq 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$2 x \geq 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

ステップ 4.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{0}{2}$

ステップ 4.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x \geq 0$

ステップ 4.3.3

$arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2})$ の偏角を $- 1$ 以下として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{\sqrt{2 x}}{2} \leq - 1$

ステップ 4.3.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

両辺に $2$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2 x}}{2} \cdot 2 \leq - 1 \cdot 2$

ステップ 4.3.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2 x}}{2} \cdot 2 \leq - 1 \cdot 2$

ステップ 4.3.4.2.1.1.2

式を書き換えます。

$\sqrt{2 x} \leq - 1 \cdot 2$

ステップ 4.3.4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{2 x} \leq - 2$

ステップ 4.3.4.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.3.1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{2 x}}^{2} \leq {(- 2)}^{2}$

ステップ 4.3.4.3.2

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x}$ を ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- 2)}^{2}$

ステップ 4.3.4.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.3.2.2.1

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.3.2.2.1.1

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 2)}^{2}$

ステップ 4.3.4.3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- 2)}^{2}$

ステップ 4.3.4.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 x)}^{1} \leq {(- 2)}^{2}$

ステップ 4.3.4.3.2.2.1.2

簡約します。

$2 x \leq {(- 2)}^{2}$

ステップ 4.3.4.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.3.2.3.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$2 x \leq 4$

ステップ 4.3.4.3.3

$2 x \leq 4$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.3.3.1

$2 x \leq 4$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{4}{2}$

ステップ 4.3.4.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{4}{2}$

ステップ 4.3.4.3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{4}{2}$

ステップ 4.3.4.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.3.3.3.1

$4$ を $2$ で割ります。

$x \leq 2$

ステップ 4.3.4.4

$\frac{\sqrt{2 x}}{2} + 1$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.4.1

$\sqrt{2 x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2 x \geq 0$

ステップ 4.3.4.4.2

$2 x \geq 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.4.2.1

$2 x \geq 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

ステップ 4.3.4.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

ステップ 4.3.4.4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{0}{2}$

ステップ 4.3.4.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.4.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x \geq 0$

ステップ 4.3.4.4.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 4.3.4.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 4.3.4.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.6.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.6.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 4.3.4.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{\sqrt{2 (- 2)}}{2} \leq - 1$

ステップ 4.3.4.6.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 4.3.4.6.2

区間 $0 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.6.2.1

区間 $0 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 4.3.4.6.2.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$\frac{\sqrt{2 (1)}}{2} \leq - 1$

ステップ 4.3.4.6.2.3

左辺 $0.70710678$ は右辺 $- 1$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 4.3.4.6.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.6.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 4.3.4.6.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{\sqrt{2 (4)}}{2} \leq - 1$

ステップ 4.3.4.6.3.3

左辺 $1.41421356$ は右辺 $- 1$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 4.3.4.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 偽

ステップ 4.3.4.7

この区間になる数がないので、この不等式に解はありません。

解がありません

ステップ 4.3.5

$arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2})$ の偏角を $1$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{\sqrt{2 x}}{2} \geq 1$

ステップ 4.3.6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

両辺に $2$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2 x}}{2} \cdot 2 \geq 1 \cdot 2$

ステップ 4.3.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2 x}}{2} \cdot 2 \geq 1 \cdot 2$

ステップ 4.3.6.2.1.1.2

式を書き換えます。

$\sqrt{2 x} \geq 1 \cdot 2$

ステップ 4.3.6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.2.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{2 x} \geq 2$

ステップ 4.3.6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.3.1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{2 x}}^{2} \geq 2^{2}$

ステップ 4.3.6.3.2

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x}$ を ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 2^{2}$

ステップ 4.3.6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.3.2.2.1

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.3.2.2.1.1

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 2^{2}$

ステップ 4.3.6.3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 2^{2}$

ステップ 4.3.6.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 x)}^{1} \geq 2^{2}$

ステップ 4.3.6.3.2.2.1.2

簡約します。

$2 x \geq 2^{2}$

ステップ 4.3.6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.3.2.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$2 x \geq 4$

ステップ 4.3.6.3.3

$2 x \geq 4$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.3.3.1

$2 x \geq 4$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{4}{2}$

ステップ 4.3.6.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{4}{2}$

ステップ 4.3.6.3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{4}{2}$

ステップ 4.3.6.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.3.3.3.1

$4$ を $2$ で割ります。

$x \geq 2$

ステップ 4.3.6.4

$\frac{\sqrt{2 x}}{2} - 1$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.4.1

$\sqrt{2 x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2 x \geq 0$

ステップ 4.3.6.4.2

$2 x \geq 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.4.2.1

$2 x \geq 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

ステップ 4.3.6.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

ステップ 4.3.6.4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{0}{2}$

ステップ 4.3.6.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.4.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x \geq 0$

ステップ 4.3.6.4.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 4.3.6.5

解はすべての真の区間からなります。

$x \geq 2$

ステップ 4.3.7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[0, \infty)$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (x) = arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2}), arcsec (- \frac{\sqrt{2 x}}{2})$ の定義域が $f (x) = 2 \sec^{2} (x)$ の範囲に等しくないので、 $f^{- 1} (x) = arcsec (\frac{\sqrt{2 x}}{2}), arcsec (- \frac{\sqrt{2 x}}{2})$ は $f (x) = 2 \sec^{2} (x)$ の逆ではありません。

逆はありません

ステップ 5

三角関数 例

三角関数例