三角関数例

$\frac{x}{8 x - 9}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y}{8 y - 9}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式に $8 y - 9$ を掛けます。

$(8 y - 9) (x) = (\frac{y}{8 y - 9}) (8 y - 9)$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$8 y x - 9 x = (\frac{y}{8 y - 9}) (8 y - 9)$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$8 y - 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

共通因数を約分します。

$8 y x - 9 x = \frac{y}{8 y - 9} (8 y - 9)$

ステップ 2.3.1.2

式を書き換えます。

$8 y x - 9 x = y$

ステップ 2.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$8 y x - 9 x - y = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $9 x$ を足します。

$8 y x - y = 9 x$

ステップ 2.4.3

$y$ を $8 y x - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$y$ を $8 y x$ で因数分解します。

$y (8 x) - y = 9 x$

ステップ 2.4.3.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y (8 x) + y \cdot - 1 = 9 x$

ステップ 2.4.3.3

$y$ を $y (8 x) + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$y (8 x - 1) = 9 x$

ステップ 2.4.4

$y (8 x - 1) = 9 x$ の各項を $8 x - 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$y (8 x - 1) = 9 x$ の各項を $8 x - 1$ で割ります。

$\frac{y (8 x - 1)}{8 x - 1} = \frac{9 x}{8 x - 1}$

ステップ 2.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.2.1

$8 x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (8 x - 1)}{8 x - 1} = \frac{9 x}{8 x - 1}$

ステップ 2.4.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{9 x}{8 x - 1}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8 x - 1}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8 x - 1}$ が $f (x) = \frac{x}{8 x - 9}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{9 (\frac{x}{8 x - 9})}{8 (\frac{x}{8 x - 9}) - 1}$

ステップ 4.2.3

$9$ と $\frac{x}{8 x - 9}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{8 (\frac{x}{8 x - 9}) - 1}$

ステップ 4.2.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$8$ と $\frac{x}{8 x - 9}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x}{8 x - 9} - 1}$

ステップ 4.2.4.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8 x - 9}{8 x - 9}$ を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x}{8 x - 9} - 1 \cdot \frac{8 x - 9}{8 x - 9}}$

ステップ 4.2.4.3

$- 1$ と $\frac{8 x - 9}{8 x - 9}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x}{8 x - 9} + \frac{- (8 x - 9)}{8 x - 9}}$

ステップ 4.2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x - (8 x - 9)}{8 x - 9}}$

ステップ 4.2.4.5

因数分解した形で $\frac{8 x - (8 x - 9)}{8 x - 9}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.5.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x - (8 x) + 9}{8 x - 9}}$

ステップ 4.2.4.5.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x - 8 x + 9}{8 x - 9}}$

ステップ 4.2.4.5.3

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{8 x - 8 x + 9}{8 x - 9}}$

ステップ 4.2.4.5.4

$8 x$ から $8 x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{0 + 9}{8 x - 9}}$

ステップ 4.2.4.5.5

$0$ と $9$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 9}}{\frac{9}{8 x - 9}}$

ステップ 4.2.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{9 x}{8 x - 9} \cdot \frac{8 x - 9}{9}$

ステップ 4.2.6

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

$9$ を $9 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{9 (x)}{8 x - 9} \cdot \frac{8 x - 9}{9}$

ステップ 4.2.6.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{9 x}{8 x - 9} \cdot \frac{8 x - 9}{9}$

ステップ 4.2.6.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{x}{8 x - 9} \cdot (8 x - 9)$

ステップ 4.2.7

$8 x - 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = \frac{x}{8 x - 9} \cdot (8 x - 9)$

ステップ 4.2.7.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x}{8 x - 9}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{9 x}{8 x - 1})$ の値を求めます。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{\frac{9 x}{8 x - 1}}{8 (\frac{9 x}{8 x - 1}) - 9}$

ステップ 4.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{8 (\frac{9 x}{8 x - 1}) - 9}$

ステップ 4.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$8 \frac{9 x}{8 x - 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1.1

$8$ と $\frac{9 x}{8 x - 1}$ をまとめます。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{8 (9 x)}{8 x - 1} - 9}$

ステップ 4.3.4.1.2

$9$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x}{8 x - 1} - 9}$

ステップ 4.3.4.2

$- 9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8 x - 1}{8 x - 1}$ を掛けます。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x}{8 x - 1} - 9 \cdot \frac{8 x - 1}{8 x - 1}}$

ステップ 4.3.4.3

$- 9$ と $\frac{8 x - 1}{8 x - 1}$ をまとめます。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x}{8 x - 1} + \frac{- 9 (8 x - 1)}{8 x - 1}}$

ステップ 4.3.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{72 x - 9 (8 x - 1)}{8 x - 1}}$

ステップ 4.3.4.5

因数分解した形で $\frac{72 x - 9 (8 x - 1)}{8 x - 1}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.5.1

$9$ を $72 x - 9 (8 x - 1)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.5.1.1

$9$ を $72 x$ で因数分解します。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x) - 9 (8 x - 1)}{8 x - 1}}$

ステップ 4.3.4.5.1.2

$9$ を $- 9 (8 x - 1)$ で因数分解します。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x) + 9 (- (8 x - 1))}{8 x - 1}}$

ステップ 4.3.4.5.1.3

$9$ を $9 (8 x) + 9 (- (8 x - 1))$ で因数分解します。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x - (8 x - 1))}{8 x - 1}}$

ステップ 4.3.4.5.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x - (8 x) + 1)}{8 x - 1}}$

ステップ 4.3.4.5.3

$8$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x - 8 x + 1)}{8 x - 1}}$

ステップ 4.3.4.5.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (8 x - 8 x + 1)}{8 x - 1}}$

ステップ 4.3.4.5.5

$8 x$ から $8 x$ を引きます。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 (0 + 1)}{8 x - 1}}$

ステップ 4.3.4.5.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9 \cdot 1}{8 x - 1}}$

ステップ 4.3.4.6

$9$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{9}{8 x - 1}}$

ステップ 4.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot (1 (\frac{8 x - 1}{9}))$

ステップ 4.3.6

$\frac{8 x - 1}{9}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{8 x - 1}{9}$

ステップ 4.3.7

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

$9$ を $9 x$ で因数分解します。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 (x)}{8 x - 1} \cdot \frac{8 x - 1}{9}$

ステップ 4.3.7.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{9 x}{8 x - 1} \cdot \frac{8 x - 1}{9}$

ステップ 4.3.7.3

式を書き換えます。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{x}{8 x - 1} \cdot (8 x - 1)$

ステップ 4.3.8

$8 x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.8.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = \frac{x}{8 x - 1} \cdot (8 x - 1)$

ステップ 4.3.8.2

式を書き換えます。

$f (\frac{9 x}{8 x - 1}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8 x - 1}$ は $f (x) = \frac{x}{8 x - 9}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x}{8 x - 1}$

三角関数 例

三角関数例