三角関数例

$\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt[3]{1 + \tan (y)}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $\sqrt[3]{1 + \tan (y)} = x$ として書き換えます。

$\sqrt[3]{1 + \tan (y)} = x$

ステップ 2.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{1 + \tan (y)}}^{3} = x^{3}$

ステップ 2.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{1 + \tan (y)}$ を ${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

${({(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

ステップ 2.3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(1 + \tan (y))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

ステップ 2.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(1 + \tan (y))}^{1} = x^{3}$

ステップ 2.3.2.1.2

簡約します。

$1 + \tan (y) = x^{3}$

ステップ 2.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\tan (y) = x^{3} - 1$

ステップ 2.5

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $y$ を取り出します。

$y = \arctan (x^{3} - 1)$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$ が $f (x) = \sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(\sqrt[3]{1 + \tan (x)})}^{3} - 1)$

ステップ 4.2.3

${\sqrt[3]{1 + \tan (x)}}^{3}$ を $1 + \tan (x)$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ を ${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({({(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 1)$

ステップ 4.2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1)$

ステップ 4.2.3.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{3}{3}} - 1)$

ステップ 4.2.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ({(1 + \tan (x))}^{\frac{3}{3}} - 1)$

ステップ 4.2.3.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan ((1 + \tan (x)) - 1)$

ステップ 4.2.3.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (1 + \tan (x) - 1)$

ステップ 4.2.4

$1 + \tan (x) - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (0 + \tan (x))$

ステップ 4.2.4.2

$0$ と $\tan (x)$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 + \tan (x)}) = \arctan (\tan (x))$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\arctan (x^{3} - 1))$ の値を求めます。

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{1 + \tan (\arctan (x^{3} - 1))}$

ステップ 4.3.3

関数の正切と逆正切は逆です。

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{1 + x^{3} - 1}$

ステップ 4.3.4

$1$ から $1$ を引きます。

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

ステップ 4.3.5

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = \sqrt[3]{x^{3}}$

ステップ 4.3.6

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\arctan (x^{3} - 1)) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$ は $f (x) = \sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \arctan (x^{3} - 1)$

三角関数 例

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