三角関数例

$- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = - 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ として書き換えます。

$- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$

ステップ 2.2

$- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4}) = x$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \cos (3 y - \frac{π}{4})}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

ステップ 2.2.2.1.2

$\cos (3 y - \frac{π}{4})$ を $1$ で割ります。

$\cos (3 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{- 2}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (3 y - \frac{π}{4}) = - \frac{x}{2}$

ステップ 2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$3 y - \frac{π}{4} = \arccos (- \frac{x}{2})$

ステップ 2.4

方程式の両辺に $\frac{π}{4}$ を足します。

$3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$

ステップ 2.5

$3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$3 y = \arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

ステップ 2.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{\frac{π}{4}}{3}$

ステップ 2.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 2.5.3.1.2

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.2.1

$\frac{π}{4}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{4 \cdot 3}$

ステップ 2.5.3.1.2.2

$4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$ が $f (x) = - 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4}))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

ステップ 4.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

$2$ を $- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ で因数分解します。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

ステップ 4.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2 (1)})}{3} + \frac{π}{12}$

ステップ 4.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{2 (- \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{2 \cdot 1})}{3} + \frac{π}{12}$

ステップ 4.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (- \frac{- \cos (3 x - \frac{π}{4})}{1})}{3} + \frac{π}{12}$

ステップ 4.2.3.1.2.4

$- \cos (3 x - \frac{π}{4})$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (\cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

ステップ 4.2.3.2

$- - \cos (3 x - \frac{π}{4})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (1 \cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

ステップ 4.2.3.2.2

$\cos (3 x - \frac{π}{4})$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (- 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})) = \frac{\arccos (\cos (3 x - \frac{π}{4}))}{3} + \frac{π}{12}$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12})$ の値を求めます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

ステップ 4.3.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (3 (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

ステップ 4.3.3.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{12}) - \frac{π}{4})$

ステップ 4.3.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.3.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{3 (4)}) - \frac{π}{4})$

ステップ 4.3.3.3.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 3 (\frac{π}{3 \cdot 4}) - \frac{π}{4})$

ステップ 4.3.3.3.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4} - \frac{π}{4})$

ステップ 4.3.4

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{π - π}{4})$

ステップ 4.3.4.1.2

$π$ から $π$ を引きます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + \frac{0}{4})$

ステップ 4.3.4.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1

$0$ を $4$ で割ります。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}) + 0)$

ステップ 4.3.4.2.2

$\arccos (- \frac{x}{2})$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \cos (\arccos (- \frac{x}{2}))$

ステップ 4.3.5

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 (- \frac{x}{2})$

ステップ 4.3.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

$- \frac{x}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 2 \frac{- x}{2}$

ステップ 4.3.6.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2})$

ステップ 4.3.6.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2})$

ステップ 4.3.6.4

式を書き換えます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = - 1 (- x)$

ステップ 4.3.7

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = 1 x$

ステップ 4.3.7.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$ は $f (x) = - 2 \cos (3 x - \frac{π}{4})$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{2})}{3} + \frac{π}{12}$

三角関数 例

三角関数例