三角関数例

${(y - 2)}^{2} = 3 (x + 1)$

ステップ 1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y - 2 = \pm \sqrt{3 (x + 1)}$

ステップ 2

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y - 2 = \sqrt{3 (x + 1)}$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

ステップ 2.3

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y - 2 = - \sqrt{3 (x + 1)}$

ステップ 2.4

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

ステップ 2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

$y = - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$

ステップ 3

変数を入れ替えます。各式に対して方程式を作成します。

$x = \sqrt{3 (y + 1)} + 2, x = - \sqrt{3 (y + 1)} + 2$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$ として書き換えます。

$\sqrt{3 (y + 1)} + 2 = x$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\sqrt{3 (y + 1)} = x - 2$

ステップ 4.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{3 (y + 1)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.4

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 (y + 1)}$ を ${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.1

${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1

${({(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(3 (y + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(3 (y + 1))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.4.2.1.2

分配則を当てはめます。

${(3 y + 3 \cdot 1)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.4.2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

${(3 y + 3)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.4.2.1.3.2

簡約します。

$3 y + 3 = {(x - 2)}^{2}$

ステップ 4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1

${(x - 2)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1.1

${(x - 2)}^{2}$ を $(x - 2) (x - 2)$ に書き換えます。

$3 y + 3 = (x - 2) (x - 2)$

ステップ 4.4.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$3 y + 3 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

ステップ 4.4.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

ステップ 4.4.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$3 y + 3 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 4.4.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.4.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$3 y + 3 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 4.4.3.1.3.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$3 y + 3 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 4.4.3.1.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$3 y + 3 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

ステップ 4.4.3.1.3.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$3 y + 3 = x^{2} - 4 x + 4$

ステップ 4.5

$y$ について解きます。

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ステップ 4.5.1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.5.1.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$3 y = x^{2} - 4 x + 4 - 3$

ステップ 4.5.1.2

$4$ から $3$ を引きます。

$3 y = x^{2} - 4 x + 1$

ステップ 4.5.2

$3 y = x^{2} - 4 x + 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.5.2.1

$3 y = x^{2} - 4 x + 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 4.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.5.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 4.5.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 4.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.5.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 5

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 6

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ が $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ の逆か確認します。

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ステップ 6.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 6.2

$f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ の値域を求めます。

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ステップ 6.2.1

$\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[2, \infty)$

ステップ 6.2.2

$- \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ の値域を求めます。

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ステップ 6.2.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, 2]$

ステップ 6.2.3

$[2, \infty), (- \infty, 2]$ の和集合を求めます。

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ステップ 6.2.3.1

和集合は各区間に含まれる要素からなります。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 6.3

$\sqrt{3 (x + 1)} + 2$ の定義域を求めます。

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ステップ 6.3.1

$\sqrt{3 (x + 1)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$3 (x + 1) \geq 0$

ステップ 6.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 6.3.2.1

$3 (x + 1) \geq 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.1

$3 (x + 1) \geq 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

ステップ 6.3.2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (x + 1)}{3} \geq \frac{0}{3}$

ステップ 6.3.2.1.2.1.2

$x + 1$ を $1$ で割ります。

$x + 1 \geq \frac{0}{3}$

ステップ 6.3.2.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$x + 1 \geq 0$

ステップ 6.3.2.2

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$x \geq - 1$

ステップ 6.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- 1, \infty)$

ステップ 6.4

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ の定義域が $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ の範囲が $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$ は $f (x) = \sqrt{3 (x + 1)} + 2, - \sqrt{3 (x + 1)} + 2$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{3}$

ステップ 7

三角関数 例

三角関数例