三角関数例

$\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \cos (\arcsin (\frac{5}{y}))$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\cos (\arcsin (\frac{5}{y})) = x$ として書き換えます。

$\cos (\arcsin (\frac{5}{y})) = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $\arcsin (\frac{5}{y})$ を取り出します。

$\arcsin (\frac{5}{y}) = \arccos (x)$

ステップ 2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、逆正弦の中から $y$ を取り出します。

$\frac{5}{y} = \sin (\arccos (x))$

ステップ 2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\sin (\arccos (x))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

指数を利用して式を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1.1

交点 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arccos (x))$ は $\sqrt{1 - x^{2}}$ です。

$\frac{5}{y} = \sqrt{1 - x^{2}}$

ステップ 2.4.1.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5}{y} = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

ステップ 2.4.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{5}{y} = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 2.5

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y, 1$

ステップ 2.5.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y$

ステップ 2.6

$\frac{5}{y} = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ の各項に $y$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$\frac{5}{y} = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ の各項に $y$ を掛けます。

$\frac{5}{y} y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} y$

ステップ 2.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{y} y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} y$

ステップ 2.6.2.1.2

式を書き換えます。

$5 = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} y$

ステップ 2.7

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

方程式を $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y = 5$ として書き換えます。

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y = 5$

ステップ 2.7.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y = 5$ の各項を $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y = 5$ の各項を $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ で割ります。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} = \frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 2.7.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} = \frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 2.7.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 2.7.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.3.1

$\frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ をかけます。

$y = \frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 2.7.2.3.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.3.2.1

$\frac{5}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ をかけます。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 2.7.2.3.2.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 2.7.2.3.2.3

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

ステップ 2.7.2.3.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.7.2.3.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

ステップ 2.7.2.3.2.6

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ を $(1 + x) (1 - x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.3.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.7.2.3.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.7.2.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.7.2.3.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.3.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.7.2.3.2.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

ステップ 2.7.2.3.2.6.5

簡約します。

$y = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ が $f (x) = \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x})))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))))}$

ステップ 4.2.3

括弧を削除します。

ステップ 4.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (\frac{5}{x})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))$ は $\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}$ です。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{5}{x}$ です。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.5

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.7

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.8

$\frac{x + 5}{x}$ に $\frac{x - 5}{x}$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.9

$x$ に $x$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.10

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ を ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.10.1

$(x + 5) (x - 5)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.10.2

$x^{2}$ から完全累乗 $x^{2}$ を因数分解します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.10.3

分数 $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.11

累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \frac{1}{x} \cdot \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.12

$\frac{1}{x}$ と $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(1 + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.13

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.14

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.15

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.16

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.17

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{5}{x}$ です。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.18

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.19

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (1 - \frac{5}{x})})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.20

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.21

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.22

$\frac{x + 5}{x}$ に $\frac{x - 5}{x}$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.23

$x$ に $x$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.24

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ を ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.24.1

$(x + 5) (x - 5)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.24.2

$x^{2}$ から完全累乗 $x^{2}$ を因数分解します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.24.3

分数 $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.25

累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - (\frac{1}{x} \cdot \sqrt{(x + 5) (x - 5)}))}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.26

$\frac{1}{x}$ と $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.27

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x})}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.28

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.29

$\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ に $\frac{x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x \cdot x}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.30

$x$ に $x$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.31

分配法則（FOIL法）を使って $(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.31.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.31.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.31.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.32

$x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.32.1

$x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ と $\sqrt{(x + 5) (x - 5)} x$ について因数を並べ替えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x \cdot x - x \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + x \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.32.2

$- x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ と $x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x \cdot x + 0 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.32.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x \cdot x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.33.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - \sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.3

$- \sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.33.3.1

$\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.3.2

$\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1 + 1}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.4

${\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}$ を $(x + 5) (x - 5)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.33.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ を ${((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {({((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.33.4.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.4.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.4.5

簡約します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 5) (x - 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.33.5.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x (x - 5) + 5 (x - 5))}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.5.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5))}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.5.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.6

$x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.33.6.1

$x \cdot - 5$ と $5 x$ について因数を並べ替えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.6.2

$- 5 x$ と $5 x$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.6.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.33.7.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.7.2

$5$ に $- 5$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} - 25)}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.8

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} + 25}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.33.9

$- 1$ に $- 25$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} + 25}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.34

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{0 + 25}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.35

$0$ と $25$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{25}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.36

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{\frac{5^{2}}{x^{2}}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.37

$\frac{5^{2}}{x^{2}}$ を ${(\frac{5}{x})}^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 \sqrt{{(\frac{5}{x})}^{2}}}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.4.38

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.5.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.5.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{5}{x}$ です。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.5.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.5.5

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (1 - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.5.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.5.7

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.5.8

$\frac{x + 5}{x}$ に $\frac{x - 5}{x}$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.5.9

$x$ に $x$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.5.10

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ を ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.10.1

$(x + 5) (x - 5)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.5.10.2

$x^{2}$ から完全累乗 $x^{2}$ を因数分解します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.5.10.3

分数 $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.5.11

累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \frac{1}{x} \cdot \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.5.12

$\frac{1}{x}$ と $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(1 + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.5.13

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{(\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}) (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.5.14

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \cos (\arcsin (\frac{5}{x})))}$

ステップ 4.2.5.15

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}})}$

ステップ 4.2.5.16

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}})}$

ステップ 4.2.5.17

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{5}{x}$ です。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})})}$

ステップ 4.2.5.18

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})})}$

ステップ 4.2.5.19

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (1 - \frac{5}{x})})}$

ステップ 4.2.5.20

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})})}$

ステップ 4.2.5.21

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}})}$

ステップ 4.2.5.22

$\frac{x + 5}{x}$ に $\frac{x - 5}{x}$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}})}$

ステップ 4.2.5.23

$x$ に $x$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}})}$

ステップ 4.2.5.24

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ を ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.24.1

$(x + 5) (x - 5)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}})}$

ステップ 4.2.5.24.2

$x^{2}$ から完全累乗 $x^{2}$ を因数分解します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}})}$

ステップ 4.2.5.24.3

分数 $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))})}$

ステップ 4.2.5.25

累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - (\frac{1}{x} \cdot \sqrt{(x + 5) (x - 5)}))}$

ステップ 4.2.5.26

$\frac{1}{x}$ と $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (1 - \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x})}$

ステップ 4.2.5.27

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot (\frac{x}{x} - \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x})}$

ステップ 4.2.5.28

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{5 (\frac{5}{x})}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

ステップ 4.2.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

$5$ と $\frac{5}{x}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{5 \cdot 5}{x}}{\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

ステップ 4.2.6.2

$\frac{x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ に $\frac{x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{5 \cdot 5}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x \cdot x}}$

ステップ 4.2.6.3

$5$ に $5$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x \cdot x}}$

ステップ 4.2.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{1 + 1}}}$

ステップ 4.2.7.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.1.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (x - \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.1.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.2

$x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.2.1

$x (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})$ と $\sqrt{(x + 5) (x - 5)} x$ について因数を並べ替えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x \cdot x - x \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + x \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.2.2

$- x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ と $x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x \cdot x + 0 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.2.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x \cdot x + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} (- \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - \sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.3

$- \sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.3.3.1

$\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.3.2

$\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1 + 1}}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.4

${\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}$ を $(x + 5) (x - 5)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ を ${((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {({((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - {((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.4.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.4.5

簡約します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 5) (x - 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.3.5.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x (x - 5) + 5 (x - 5))}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.5.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5))}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.5.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.6

$x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.3.6.1

$x \cdot - 5$ と $5 x$ について因数を並べ替えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.6.2

$- 5 x$ と $5 x$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.6.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.3.7.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x^{2} + 5 \cdot - 5)}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.7.2

$5$ に $- 5$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - (x^{2} - 25)}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.8

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - x^{2} + 25}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.9

$- 1$ に $- 25$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{x^{2} - x^{2} + 25}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.4

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{0 + 25}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.8.5

$0$ と $25$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{\frac{25}{x}}{\frac{25}{x^{2}}}$

ステップ 4.2.9

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{25}{x} \cdot \frac{x^{2}}{25}$

ステップ 4.2.10

まとめる。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{25 x^{2}}{x \cdot 25}$

ステップ 4.2.11

$25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.11.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{25 x^{2}}{x \cdot 25}$

ステップ 4.2.11.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x^{2}}{x}$

ステップ 4.2.12

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.12.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x \cdot x}{x}$

ステップ 4.2.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.12.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x \cdot x}{x}$

ステップ 4.2.12.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

ステップ 4.2.12.2.3

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

ステップ 4.2.12.2.4

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = \frac{x}{1}$

ステップ 4.2.12.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\cos (\arcsin (\frac{5}{x}))) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})$ の値を求めます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \cos (\arcsin (\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}))$

ステップ 4.3.3

指数を利用して式を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}, \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}, \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arcsin (\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}))$ は $\sqrt{1 - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$ です。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{1 - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

ステップ 4.3.3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

ステップ 4.3.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}$ です。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}})}$

ステップ 4.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - (5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})))}$

ステップ 4.3.5.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.1

$5$ を $5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ で因数分解します。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - (5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 (\sqrt{(1 + x) (1 - x)})})))}$

ステップ 4.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - (5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})))}$

ステップ 4.3.5.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}$

ステップ 4.3.5.3

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ をかけます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - (\frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}))}$

ステップ 4.3.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.4.1

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ をかけます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}$

ステップ 4.3.5.4.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

ステップ 4.3.5.4.3

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

ステップ 4.3.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}})}$

ステップ 4.3.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

ステップ 4.3.5.4.6

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ を $(1 + x) (1 - x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}$

ステップ 4.3.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}$

ステップ 4.3.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

ステップ 4.3.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

ステップ 4.3.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.5.4.6.5

簡約します。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.5.5

$1 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.5.5.2

式を書き換えます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x})}$

ステップ 4.3.5.6

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.6.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \frac{(1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x})}$

ステップ 4.3.5.6.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{5}{\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + 5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.2.1

$5$ を $5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ で因数分解します。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + 5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 (\sqrt{(1 + x) (1 - x)})})) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + 5 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.3

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ をかけます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.4.1

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ をかけます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.4.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.4.3

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.4.6

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ を $(1 + x) (1 - x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.4.6.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.4.6.5

簡約します。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.5

$1 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.5.2

式を書き換えます。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.6

$1 - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.6.6.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \frac{(1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{1 - x}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.3.6.6.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)}) (1 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ は $f (x) = \cos (\arcsin (\frac{5}{x}))$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{5 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

三角関数 例

三角関数例