三角関数例

$\cos (arccsc (u))$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$u = \cos (arccsc (y))$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\cos (arccsc (y)) = u$ として書き換えます。

$\cos (arccsc (y)) = u$

ステップ 2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $arccsc (y)$ を取り出します。

$arccsc (y) = \arccos (u)$

ステップ 2.3

Take the inverse arccosecant of both sides of the equation to extract $y$ from inside the arccosecant.

$y = \csc (\arccos (u))$

ステップ 2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\csc (\arccos (u))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

交点 $(u, \sqrt{1^{2} - u^{2}})$ 、 $(u, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (u)$ は正のx軸と、原点から始まって $(u, \sqrt{1^{2} - u^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\csc (\arccos (u))$ は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$y = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$

ステップ 2.4.1.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$

ステップ 2.4.1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = u$ です。

$y = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 2.4.1.3

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ をかけます。

$y = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 2.4.1.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.4.1

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 2.4.1.4.2

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 2.4.1.4.3

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} {\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1}}$

ステップ 2.4.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.4.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

ステップ 2.4.1.4.6

${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ を $(1 + u) (1 - u)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ を ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.4.1.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.4.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.4.1.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.4.1.4.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{1}}$

ステップ 2.4.1.4.6.5

簡約します。

$y = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (u)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (u) = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

ステップ 4

$f^{- 1} (u) = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ が $f (u) = \cos (arccsc (u))$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (u)) = u$ と $f (f^{- 1} (u)) = u$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (u))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (u))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\cos (arccsc (u)))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - (\cos (arccsc (u))))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - (\cos (arccsc (u))))}$

ステップ 4.2.3

括弧を削除します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - (\cos (arccsc (u))))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - (\cos (arccsc (u))))}$

ステップ 4.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

交点 $(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 1)$ 、 $(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $arccsc (u)$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{u^{2} - 1^{2}}, 1)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (arccsc (u))$ は $\frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u}$ です。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(1 + \frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(1 + \frac{\sqrt{u^{2} - 1^{2}}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = u$ であり、 $b = 1$ です。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(1 + \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{(\frac{u}{u} + \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \cos (arccsc (u)))}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.5

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u})}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.6.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{u^{2} - 1^{2}}}{u})}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.6.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = u$ であり、 $b = 1$ です。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u})}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (\frac{u}{u} - \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u})}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.8

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot \frac{u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.9

$\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}$ に $\frac{u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u \cdot u}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.10

$u$ に $u$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.11

分配法則（FOIL法）を使って $(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.11.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.11.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.11.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.12

$u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.12.1

$u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ と $\sqrt{(u + 1) (u - 1)} u$ について因数を並べ替えます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u \cdot u - u \sqrt{(u + 1) (u - 1)} + u \sqrt{(u + 1) (u - 1)} + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.12.2

$- u \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ と $u \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u \cdot u + 0 + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.12.3

$u \cdot u$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u \cdot u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.13.1

$u$ に $u$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - \sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.3

$- \sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.13.3.1

$\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (\sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.3.2

$\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (\sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{1 + 1}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{2}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.4

${\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{2}$ を $(u + 1) (u - 1)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.13.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ を ${((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {({((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{2}{2}}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.13.4.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{2}{2}}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.4.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - ((u + 1) (u - 1))}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.4.5

簡約します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - ((u + 1) (u - 1))}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.5

分配法則（FOIL法）を使って $(u + 1) (u - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.13.5.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u (u - 1) + 1 (u - 1))}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.5.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u \cdot u + u \cdot - 1 + 1 (u - 1))}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.5.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u \cdot u + u \cdot - 1 + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.13.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.13.6.1.1

$u$ に $u$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} + u \cdot - 1 + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.6.1.2

$- 1$ を $u$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} - 1 \cdot u + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.6.1.3

$- 1 u$ を $- u$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.6.1.4

$u$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.6.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + u - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.6.2

$- u$ と $u$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} + 0 - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.6.3

$u^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - (u^{2} - 1)}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.7

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - u^{2} + 1}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.13.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{u^{2} - u^{2} + 1}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.14

$u^{2}$ から $u^{2}$ を引きます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{0 + 1}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.15

$0$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{1}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.16

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{\frac{1^{2}}{u^{2}}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.17

$\frac{1^{2}}{u^{2}}$ を ${(\frac{1}{u})}^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\sqrt{{(\frac{1}{u})}^{2}}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.4.18

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{(1 + \cos (arccsc (u))) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{(1 + \frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{(1 + \frac{\sqrt{u^{2} - 1^{2}}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.5.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = u$ であり、 $b = 1$ です。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{(1 + \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.5.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{(\frac{u}{u} + \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}) (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.5.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \cos (arccsc (u)))}$

ステップ 4.2.5.5

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u})}$

ステップ 4.2.5.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.6.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{u^{2} - 1^{2}}}{u})}$

ステップ 4.2.5.6.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = u$ であり、 $b = 1$ です。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (1 - \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u})}$

ステップ 4.2.5.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot (\frac{u}{u} - \frac{\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u})}$

ステップ 4.2.5.8

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u} \cdot \frac{u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}}$

ステップ 4.2.6

$\frac{u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}$ に $\frac{u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u}$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u \cdot u}}$

ステップ 4.2.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{1 + 1}}}$

ステップ 4.2.7.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1

分配法則（FOIL法）を使って $(u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.1.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.1.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (u - \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.1.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.2

$u \cdot u + u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)}) + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.2.1

$u (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})$ と $\sqrt{(u + 1) (u - 1)} u$ について因数を並べ替えます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u \cdot u - u \sqrt{(u + 1) (u - 1)} + u \sqrt{(u + 1) (u - 1)} + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.2.2

$- u \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ と $u \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u \cdot u + 0 + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.2.3

$u \cdot u$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u \cdot u + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.3.1

$u$ に $u$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} + \sqrt{(u + 1) (u - 1)} (- \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - \sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)}}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.3

$- \sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.3.3.1

$\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (\sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.3.2

$\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (\sqrt{(u + 1) (u - 1)} \sqrt{(u + 1) (u - 1)})}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{1 + 1}}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{2}}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.4

${\sqrt{(u + 1) (u - 1)}}^{2}$ を $(u + 1) (u - 1)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(u + 1) (u - 1)}$ を ${((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {({((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{2}{2}}}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - {((u + 1) (u - 1))}^{\frac{2}{2}}}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.4.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - ((u + 1) (u - 1))}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.4.5

簡約します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - ((u + 1) (u - 1))}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.5

分配法則（FOIL法）を使って $(u + 1) (u - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.3.5.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u (u - 1) + 1 (u - 1))}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.5.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u \cdot u + u \cdot - 1 + 1 (u - 1))}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.5.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u \cdot u + u \cdot - 1 + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.3.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.8.3.6.1.1

$u$ に $u$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} + u \cdot - 1 + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.6.1.2

$- 1$ を $u$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} - 1 \cdot u + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.6.1.3

$- 1 u$ を $- u$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + 1 u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.6.1.4

$u$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + u + 1 \cdot - 1)}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.6.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} - u + u - 1)}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.6.2

$- u$ と $u$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} + 0 - 1)}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.6.3

$u^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - (u^{2} - 1)}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.7

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - u^{2} + 1}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.3.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{u^{2} - u^{2} + 1}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.4

$u^{2}$ から $u^{2}$ を引きます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{0 + 1}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.8.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{\frac{1}{u}}{\frac{1}{u^{2}}}$

ステップ 4.2.9

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{1}{u} \cdot u^{2}$

ステップ 4.2.10

$u$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.10.1

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{1}{u} \cdot (u \cdot u)$

ステップ 4.2.10.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = \frac{1}{u} \cdot (u \cdot u)$

ステップ 4.2.10.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\cos (arccsc (u))) = u$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (u))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (u))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})$ の値を求めます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \cos (arccsc (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}))$

ステップ 4.3.3

交点 $(\sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ 、 $(\sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $arccsc (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (arccsc (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}))$ は $\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}}$ です。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 4.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2} - 1^{2}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ であり、 $b = 1$ です。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} + 1) (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}) (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} + (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3

因数分解した形で $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} + (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ を ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} + (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.2

$(1 + u) (1 - u)$ を ${({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} + {({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.3

$u = {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ とします。 $u$ を ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{u + u^{2}}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.4

$u$ を $u + u^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.3.4.1

$u$ を $1$ 乗します。

ステップ 4.3.7.3.4.2

$u$ を $u^{1}$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{u \cdot 1 + u^{2}}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.4.3

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{u \cdot 1 + u \cdot u}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.4.4

$u$ を $u \cdot 1 + u \cdot u$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{u (1 + u)}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.5

$u$ のすべての発生を ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.3.6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + u) (1 - u)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.3.6.1.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 (1 - u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.1.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.3.6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.3.6.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.2.1.2

$- u$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.2.1.3

$u$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u + u + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u + u - u \cdot u)}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.2.1.5

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.3.6.2.1.5.1

$u$ を移動させます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u + u - (u \cdot u))}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.2.1.5.2

$u$ に $u$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u + u - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.2.2

$- u$ と $u$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 + 0 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.3.6.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + u) (1 - u)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.3.6.3.1.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 (1 - u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.3.1.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.3.1.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.3.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.3.6.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.3.6.3.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.3.2.1.2

$- u$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.3.2.1.3

$u$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u + u + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.3.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u + u - u \cdot u)}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.3.2.1.5

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.3.6.3.2.1.5.1

$u$ を移動させます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u + u - (u \cdot u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.3.2.1.5.2

$u$ に $u$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u + u - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.3.2.2

$- u$ と $u$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 + 0 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.3.6.3.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1)} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$ を掛けます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} - 1 \cdot \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)})} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.5

$- 1$ と $\frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)} + \frac{- ((1 + u) (1 - u))}{(1 + u) (1 - u)})} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.6

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} - ((1 + u) (1 - u))}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7

因数分解した形で $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} - ((1 + u) (1 - u))}{(1 + u) (1 - u)}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ を ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} - ((1 + u) (1 - u))}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.2

$(1 + u) (1 - u)$ を ${({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} - {({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.3

$u = {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ とします。 $u$ を ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{u - u^{2}}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.4

$u$ を $u - u^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.7.4.1

$u$ を $1$ 乗します。

ステップ 4.3.7.7.4.2

$u$ を $u^{1}$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{u \cdot 1 - u^{2}}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.4.3

$u$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{u \cdot 1 + u (- u)}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.4.4

$u$ を $u \cdot 1 + u (- u)$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{u (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.5

$u$ のすべての発生を ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.7.6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + u) (1 - u)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.7.6.1.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 (1 - u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.1.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.1.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.7.6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.7.6.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.2.1.2

$- u$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.2.1.3

$u$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u + u + u (- u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u + u - u \cdot u)}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.2.1.5

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.7.6.2.1.5.1

$u$ を移動させます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u + u - (u \cdot u))}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.2.1.5.2

$u$ に $u$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u + u - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.2.2

$- u$ と $u$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 + 0 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.7.6.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + u) (1 - u)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.7.6.3.1.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 (1 - u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.3.1.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.3.1.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.3.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.7.6.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.7.6.3.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.3.2.1.2

$- u$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u + u \cdot 1 + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.3.2.1.3

$u$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u + u + u (- u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.3.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u + u - u \cdot u)}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.3.2.1.5

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.7.6.3.2.1.5.1

$u$ を移動させます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u + u - (u \cdot u))}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.3.2.1.5.2

$u$ に $u$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u + u - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.3.2.2

$- u$ と $u$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 + 0 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.7.7.6.3.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)} \cdot \frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.8

$\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}$ に $\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) ({(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.9

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.9.1

指数を足して ${(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.9.1.1

${(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.9.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.9.1.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.9.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{{(1 - u^{2})}^{\frac{2}{2}} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.9.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.9.2

${(1 - u^{2})}^{1} (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

ステップ 4.3.10

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.10.1

$1 + u$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 + u) (1 - u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.10.2

$1 + u$ を $1$ 乗します。

ステップ 4.3.10.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{1 + 1} (1 - u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.10.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} (1 - u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.10.5

$1 - u$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} ((1 - u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.10.6

$1 - u$ を $1$ 乗します。

ステップ 4.3.10.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{1 + 1}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.10.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.11.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1^{2} - u^{2}) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.11.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = u$ です。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 + u) (1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.12

$1 + u$ を $(1 + u) (1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 + u) (((1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.13.1

$1 + u$ を ${(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 + u) (((1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.13.2

共通因数を約分します。

ステップ 4.3.13.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{((1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.14

$1 - u$ を $((1 - u) (1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u) ((1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.15

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.15.1

$1 - u$ を $(1 + u) {(1 - u)}^{2}$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 - u) ((1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.15.2

共通因数を約分します。

ステップ 4.3.15.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{\frac{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}} (\frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}})$

ステップ 4.3.16

$\sqrt{\frac{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + u) (1 - u)}}$ を $\frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{(1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 4.3.17

まとめる。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} ((1 + u) (1 - u))}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 4.3.18

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.18.1

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 4.3.18.2

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ を $1$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

ステップ 4.3.18.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.3.18.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

ステップ 4.3.19

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.19.1

${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ を $(1 + u) (1 - u)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.19.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ を ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.3.19.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.3.19.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.19.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.19.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.19.1.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$

ステップ 4.3.19.1.5

簡約します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$

ステップ 4.3.19.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + u) (1 - u)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.19.2.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 (1 - u) + u (1 - u)}$

ステップ 4.3.19.2.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u)}$

ステップ 4.3.19.2.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}$

ステップ 4.3.19.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.19.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.19.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}$

ステップ 4.3.19.3.1.2

$- u$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u + u \cdot 1 + u (- u)}$

ステップ 4.3.19.3.1.3

$u$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u + u + u (- u)}$

ステップ 4.3.19.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u + u - u \cdot u}$

ステップ 4.3.19.3.1.5

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.19.3.1.5.1

$u$ を移動させます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u + u - (u \cdot u)}$

ステップ 4.3.19.3.1.5.2

$u$ に $u$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u + u - u^{2}}$

ステップ 4.3.19.3.2

$- u$ と $u$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 + 0 - u^{2}}$

ステップ 4.3.19.3.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1 - u^{2}}$

ステップ 4.3.19.4

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{1^{2} - u^{2}}$

ステップ 4.3.19.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = u$ です。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$

ステップ 4.3.20

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.20.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 + u) (1 - u)}{(1 + u) (1 - u)}$

ステップ 4.3.20.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 - u)}{1 - u}$

ステップ 4.3.20.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \frac{\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})} (1 - u)}{1 - u}$

ステップ 4.3.20.4

$\sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}) = \sqrt{(1 + {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}) (1 - {(1 - u^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (u)) = u$ と $f (f^{- 1} (u)) = u$ なので、 $f^{- 1} (u) = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ は $f (u) = \cos (arccsc (u))$ の逆です。

$f^{- 1} (u) = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

三角関数 例

三角関数例