三角関数例

$9 + \sqrt{x}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 9 + \sqrt{y}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $9 + \sqrt{y} = x$ として書き換えます。

$9 + \sqrt{y} = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$\sqrt{y} = x - 9$

ステップ 2.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 9)}^{2}$

ステップ 2.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 9)}^{2}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 9)}^{2}$

ステップ 2.4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 9)}^{2}$

ステップ 2.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(x - 9)}^{2}$

ステップ 2.4.2.1.2

簡約します。

$y = {(x - 9)}^{2}$

ステップ 2.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

${(x - 9)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.1

${(x - 9)}^{2}$ を $(x - 9) (x - 9)$ に書き換えます。

$y = (x - 9) (x - 9)$

ステップ 2.4.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 9) (x - 9)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y = x (x - 9) - 9 (x - 9)$

ステップ 2.4.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$y = x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 (x - 9)$

ステップ 2.4.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$y = x \cdot x + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9$

ステップ 2.4.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$y = x^{2} + x \cdot - 9 - 9 x - 9 \cdot - 9$

ステップ 2.4.3.1.3.1.2

$- 9$ を $x$ の左に移動させます。

$y = x^{2} - 9 \cdot x - 9 x - 9 \cdot - 9$

ステップ 2.4.3.1.3.1.3

$- 9$ に $- 9$ をかけます。

$y = x^{2} - 9 x - 9 x + 81$

ステップ 2.4.3.1.3.2

$- 9 x$ から $9 x$ を引きます。

$y = x^{2} - 18 x + 81$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 18 x + 81$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 18 x + 81$ が $f (x) = 9 + \sqrt{x}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (9 + \sqrt{x})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = {(9 + \sqrt{x})}^{2} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

ステップ 4.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

${(9 + \sqrt{x})}^{2}$ を $(9 + \sqrt{x}) (9 + \sqrt{x})$ に書き換えます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = (9 + \sqrt{x}) (9 + \sqrt{x}) - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

ステップ 4.2.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(9 + \sqrt{x}) (9 + \sqrt{x})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 9 (9 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (9 + \sqrt{x}) - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

ステップ 4.2.3.2.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 9 \cdot 9 + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} (9 + \sqrt{x}) - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

ステップ 4.2.3.2.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 9 \cdot 9 + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 9 + \sqrt{x} \sqrt{x} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

ステップ 4.2.3.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1.1

$9$ に $9$ をかけます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 9 + \sqrt{x} \sqrt{x} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

ステップ 4.2.3.3.1.2

$9$ を $\sqrt{x}$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

ステップ 4.2.3.3.1.3

$\sqrt{x} \sqrt{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1.3.1

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

ステップ 4.2.3.3.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

ステップ 4.2.3.3.1.3.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

ステップ 4.2.3.3.1.4

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

ステップ 4.2.3.3.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

ステップ 4.2.3.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

ステップ 4.2.3.3.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}} - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

ステップ 4.2.3.3.1.4.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

ステップ 4.2.3.3.1.4.5

簡約します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 9 \sqrt{x} + 9 \sqrt{x} + x - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

ステップ 4.2.3.3.2

$9 \sqrt{x}$ と $9 \sqrt{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 18 \sqrt{x} + x - 18 (9 + \sqrt{x}) + 81$

ステップ 4.2.3.4

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 18 \sqrt{x} + x - 18 \cdot 9 - 18 \sqrt{x} + 81$

ステップ 4.2.3.5

$- 18$ に $9$ をかけます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + 18 \sqrt{x} + x - 162 - 18 \sqrt{x} + 81$

ステップ 4.2.4

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$81 + 18 \sqrt{x} + x - 162 - 18 \sqrt{x} + 81$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.1

$18 \sqrt{x}$ から $18 \sqrt{x}$ を引きます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + x - 162 + 0 + 81$

ステップ 4.2.4.1.2

$81 + x - 162$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = 81 + x - 162 + 81$

ステップ 4.2.4.2

$81$ から $162$ を引きます。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = x - 81 + 81$

ステップ 4.2.4.3

$x - 81 + 81$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.1

$- 81$ と $81$ をたし算します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = x + 0$

ステップ 4.2.4.3.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (9 + \sqrt{x}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (x^{2} - 18 x + 81)$ の値を求めます。

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + \sqrt{x^{2} - 18 x + 81}$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.1

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + \sqrt{x^{2} - 18 x + 9^{2}}$

ステップ 4.3.3.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

ステップ 4.3.3.1.3

多項式を書き換えます。

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2}}$

ステップ 4.3.3.1.4

$a = x$ と $b = 9$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + \sqrt{{(x - 9)}^{2}}$

ステップ 4.3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (x^{2} - 18 x + 81) = 9 + x - 9$

ステップ 4.3.4

$9 + x - 9$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$9$ から $9$ を引きます。

$f (x^{2} - 18 x + 81) = x + 0$

ステップ 4.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (x^{2} - 18 x + 81) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 18 x + 81$ は $f (x) = 9 + \sqrt{x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 18 x + 81$

三角関数 例

三角関数例