三角関数例

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y^{2} - 2 y - 35}{y^{2} + 9 y - 322}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{y^{2} - 2 y - 35}{y^{2} + 9 y - 322} = x$ として書き換えます。

$\frac{y^{2} - 2 y - 35}{y^{2} + 9 y - 322} = x$

ステップ 3.2

各項を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

たすき掛けを利用して $y^{2} - 2 y - 35$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 35$ で、その和が $- 2$ です。

$- 7, 5$

ステップ 3.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{y^{2} + 9 y - 322} = x$

ステップ 3.2.2

たすき掛けを利用して $y^{2} + 9 y - 322$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 322$ で、その和が $9$ です。

$- 14, 23$

ステップ 3.2.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} = x$

ステップ 3.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$(y - 14) (y + 23), 1$

ステップ 3.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$(y - 14) (y + 23)$

ステップ 3.4

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} = x$ の各項に $(y - 14) (y + 23)$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} = x$ の各項に $(y - 14) (y + 23)$ を掛けます。

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} ((y - 14) (y + 23)) = x ((y - 14) (y + 23))$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$(y - 14) (y + 23)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(y - 7) (y + 5)}{(y - 14) (y + 23)} ((y - 14) (y + 23)) = x ((y - 14) (y + 23))$

ステップ 3.4.2.1.2

式を書き換えます。

$(y - 7) (y + 5) = x ((y - 14) (y + 23))$

ステップ 3.4.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(y - 7) (y + 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

分配則を当てはめます。

$y (y + 5) - 7 (y + 5) = x ((y - 14) (y + 23))$

ステップ 3.4.2.2.2

分配則を当てはめます。

$y \cdot y + y \cdot 5 - 7 (y + 5) = x ((y - 14) (y + 23))$

ステップ 3.4.2.2.3

分配則を当てはめます。

$y \cdot y + y \cdot 5 - 7 y - 7 \cdot 5 = x ((y - 14) (y + 23))$

ステップ 3.4.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$y^{2} + y \cdot 5 - 7 y - 7 \cdot 5 = x ((y - 14) (y + 23))$

ステップ 3.4.2.3.1.2

$5$ を $y$ の左に移動させます。

$y^{2} + 5 \cdot y - 7 y - 7 \cdot 5 = x ((y - 14) (y + 23))$

ステップ 3.4.2.3.1.3

$- 7$ に $5$ をかけます。

$y^{2} + 5 y - 7 y - 35 = x ((y - 14) (y + 23))$

ステップ 3.4.2.3.2

$5 y$ から $7 y$ を引きます。

$y^{2} - 2 y - 35 = x ((y - 14) (y + 23))$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(y - 14) (y + 23)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y (y + 23) - 14 (y + 23))$

ステップ 3.4.3.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y \cdot y + y \cdot 23 - 14 (y + 23))$

ステップ 3.4.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y \cdot y + y \cdot 23 - 14 y - 14 \cdot 23)$

ステップ 3.4.3.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y^{2} + y \cdot 23 - 14 y - 14 \cdot 23)$

ステップ 3.4.3.2.1.2

$23$ を $y$ の左に移動させます。

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y^{2} + 23 \cdot y - 14 y - 14 \cdot 23)$

ステップ 3.4.3.2.1.3

$- 14$ に $23$ をかけます。

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y^{2} + 23 y - 14 y - 322)$

ステップ 3.4.3.2.2

$23 y$ から $14 y$ を引きます。

$y^{2} - 2 y - 35 = x (y^{2} + 9 y - 322)$

ステップ 3.4.3.3

分配則を当てはめます。

$y^{2} - 2 y - 35 = x y^{2} + x (9 y) + x \cdot - 322$

ステップ 3.4.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y^{2} - 2 y - 35 = x y^{2} + 9 x y + x \cdot - 322$

ステップ 3.4.3.4.2

$- 322$ を $x$ の左に移動させます。

$y^{2} - 2 y - 35 = x y^{2} + 9 x y - 322 \cdot x$

$y^{2} - 2 y - 35 = x y^{2} + 9 x y - 322 x$

ステップ 3.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$y$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

方程式の両辺から $x y^{2}$ を引きます。

$y^{2} - 2 y - 35 - x y^{2} = 9 x y - 322 x$

ステップ 3.5.1.2

方程式の両辺から $9 x y$ を引きます。

$y^{2} - 2 y - 35 - x y^{2} - 9 x y = - 322 x$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $322 x$ を足します。

$y^{2} - 2 y - 35 - x y^{2} - 9 x y + 322 x = 0$

ステップ 3.5.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5.4

$a = 1 - x$ 、 $b = - 2 - 9 x$ 、および $c = - 35 + 322 x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- (- 2 - 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot ((1 - x) \cdot (- 35 + 322 x))}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 - (- 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{2 - (- 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.3

$- 9$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.4

${(- 2 - 9 x)}^{2}$ を $(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x)$ に書き換えます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.5.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 (- 2 - 9 x) - 9 x (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.5.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 9 x) - 9 x (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.5.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 9 x) - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.6.1.1

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 - 2 (- 9 x) - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.6.1.2

$- 9$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.6.1.3

$- 2$ に $- 9$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.6.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 x \cdot x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.6.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.6.1.5.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 (x \cdot x)) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.6.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.6.1.6

$- 9$ に $- 9$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x + 81 x^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.6.2

$18 x$ と $18 x$ をたし算します。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.7

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x)) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.8

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 - 4 (- x)) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.9

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 + 4 x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.10

分配法則（FOIL法）を使って $(- 4 + 4 x) (- 35 + 322 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.10.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 (- 35 + 322 x) + 4 x (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.10.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot - 35 - 4 (322 x) + 4 x (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.10.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot - 35 - 4 (322 x) + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.11

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.11.1.1

$- 4$ に $- 35$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 4 (322 x) + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.11.1.2

$322$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.11.1.3

$- 35$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.11.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 x \cdot x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.11.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.11.1.5.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 (x \cdot x))}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.11.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 x^{2})}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.11.1.6

$4$ に $322$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.11.2

$- 1288 x$ から $140 x$ を引きます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1428 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.12

$4$ と $140$ をたし算します。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{36 x + 81 x^{2} + 144 - 1428 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.13

$36 x$ から $1428 x$ を引きます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 1392 x + 81 x^{2} + 144 + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.14

$81 x^{2}$ と $1288 x^{2}$ をたし算します。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 1392 x + 1369 x^{2} + 144}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.5.15

項を並べ替えます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.6

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 - (- 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{2 - (- 9 x) \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.3

$- 9$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{{(- 2 - 9 x)}^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.4

${(- 2 - 9 x)}^{2}$ を $(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x)$ に書き換えます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 - 9 x) (- 2 - 9 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.5.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 (- 2 - 9 x) - 9 x (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.5.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 9 x) - 9 x (- 2 - 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.5.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 2 \cdot - 2 - 2 (- 9 x) - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.6.1.1

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 - 2 (- 9 x) - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.6.1.2

$- 9$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x - 9 x \cdot - 2 - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.6.1.3

$- 2$ に $- 9$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 x (- 9 x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.6.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 x \cdot x) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.6.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.6.1.5.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 (x \cdot x)) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.6.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x - 9 \cdot (- 9 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.6.1.6

$- 9$ に $- 9$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 18 x + 18 x + 81 x^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.6.2

$18 x$ と $18 x$ をたし算します。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot (1 - x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.7

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x)) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.8

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 - 4 (- x)) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.9

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + (- 4 + 4 x) \cdot (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.10

分配法則（FOIL法）を使って $(- 4 + 4 x) (- 35 + 322 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.10.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 (- 35 + 322 x) + 4 x (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.10.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot - 35 - 4 (322 x) + 4 x (- 35 + 322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.10.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} - 4 \cdot - 35 - 4 (322 x) + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.11

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.11.1.1

$- 4$ に $- 35$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 4 (322 x) + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.11.1.2

$322$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x + 4 x \cdot - 35 + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.11.1.3

$- 35$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 x (322 x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.11.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 x \cdot x)}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.11.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1.11.1.5.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 (x \cdot x))}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.11.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 4 \cdot (322 x^{2})}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.11.1.6

$4$ に $322$ をかけます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1288 x - 140 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.11.2

$- 1288 x$ から $140 x$ を引きます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{4 + 36 x + 81 x^{2} + 140 - 1428 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.12

$4$ と $140$ をたし算します。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{36 x + 81 x^{2} + 144 - 1428 x + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.13

$36 x$ から $1428 x$ を引きます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 1392 x + 81 x^{2} + 144 + 1288 x^{2}}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.14

$81 x^{2}$ と $1288 x^{2}$ をたし算します。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{- 1392 x + 1369 x^{2} + 144}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.1.15

項を並べ替えます。

$y = \frac{2 + 9 x \pm \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.7.2

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

ステップ 3.5.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

$y = \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ が $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ の値域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}] \cup [\frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}, \infty)$

ステップ 5.3

$\frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$1369 x^{2} - 1392 x + 144 \geq 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

不等式を方程式に変換します。

$1369 x^{2} - 1392 x + 144 = 0$

ステップ 5.3.2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.3.2.3

$a = 1369$ 、 $b = - 1392$ 、および $c = 144$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{1392 \pm \sqrt{{(- 1392)}^{2} - 4 \cdot (1369 \cdot 144)}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1.1

$- 1392$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 4 \cdot 1369 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1369 \cdot 144$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1369$ をかけます。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 5476 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.4.1.2.2

$- 5476$ に $144$ をかけます。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 788544}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.4.1.3

$1937664$ から $788544$ を引きます。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1149120}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.4.1.4

$1149120$ を $24^{2} \cdot 1995$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1.4.1

$576$ を $1149120$ で因数分解します。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{576 (1995)}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.4.1.4.2

$576$ を $24^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{24^{2} \cdot 1995}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.4.2

$2$ に $1369$ をかけます。

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$

ステップ 5.3.2.4.3

$\frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$ を簡約します。

$x = \frac{696 \pm 12 \sqrt{1995}}{1369}$

ステップ 5.3.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.5.1.1

$- 1392$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 4 \cdot 1369 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1369 \cdot 144$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1369$ をかけます。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 5476 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.5.1.2.2

$- 5476$ に $144$ をかけます。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 788544}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.5.1.3

$1937664$ から $788544$ を引きます。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1149120}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.5.1.4

$1149120$ を $24^{2} \cdot 1995$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.5.1.4.1

$576$ を $1149120$ で因数分解します。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{576 (1995)}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.5.1.4.2

$576$ を $24^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{24^{2} \cdot 1995}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.5.2

$2$ に $1369$ をかけます。

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$

ステップ 5.3.2.5.3

$\frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$ を簡約します。

$x = \frac{696 \pm 12 \sqrt{1995}}{1369}$

ステップ 5.3.2.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$

ステップ 5.3.2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.6.1.1

$- 1392$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 4 \cdot 1369 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.6.1.2

$- 4 \cdot 1369 \cdot 144$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.6.1.2.1

$- 4$ に $1369$ をかけます。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 5476 \cdot 144}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.6.1.2.2

$- 5476$ に $144$ をかけます。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1937664 - 788544}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.6.1.3

$1937664$ から $788544$ を引きます。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{1149120}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.6.1.4

$1149120$ を $24^{2} \cdot 1995$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.6.1.4.1

$576$ を $1149120$ で因数分解します。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{576 (1995)}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.6.1.4.2

$576$ を $24^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{1392 \pm \sqrt{24^{2} \cdot 1995}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2 \cdot 1369}$

ステップ 5.3.2.6.2

$2$ に $1369$ をかけます。

$x = \frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$

ステップ 5.3.2.6.3

$\frac{1392 \pm 24 \sqrt{1995}}{2738}$ を簡約します。

$x = \frac{696 \pm 12 \sqrt{1995}}{1369}$

ステップ 5.3.2.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$

ステップ 5.3.2.7

解をまとめます。

$x = \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}, \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$

ステップ 5.3.2.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$

$\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$

$x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$

ステップ 5.3.2.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.9.1

区間 $x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.9.1.1

区間 $x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 5.3.2.9.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$1369 {(0)}^{2} - 1392 \cdot 0 + 144 \geq 0$

ステップ 5.3.2.9.1.3

左辺 $144$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 5.3.2.9.2

区間 $\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.9.2.1

区間 $\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.51$

ステップ 5.3.2.9.2.2

$x$ を元の不等式の $0.51$ で置き換えます。

$1369 {(0.51)}^{2} - 1392 \cdot 0.51 + 144 \geq 0$

ステップ 5.3.2.9.2.3

左辺 $- 209.8431$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 5.3.2.9.3

区間 $x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.9.3.1

区間 $x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 5.3.2.9.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$1369 {(3)}^{2} - 1392 \cdot 3 + 144 \geq 0$

ステップ 5.3.2.9.3.3

左辺 $8289$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 5.3.2.9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ 真

$\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ 偽

$x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ 真

$x < \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ 真

$\frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369} < x < \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ 偽

$x > \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$ 真

ステップ 5.3.2.10

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}$ または $x \geq \frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}$

ステップ 5.3.3

$\frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 (1 - x) = 0$

ステップ 5.3.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$2 (1 - x) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.1

$2 (1 - x) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (1 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.4.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (1 - x)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.4.1.2.1.2

$1 - x$ を $1$ で割ります。

$1 - x = \frac{0}{2}$

ステップ 5.3.4.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$1 - x = 0$

ステップ 5.3.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 5.3.4.3

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.4.3.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.3.4.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.4.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.3.4.3.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.3.4.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.4.3.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 5.3.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, \frac{696 - 12 \sqrt{1995}}{1369}] \cup [\frac{696 + 12 \sqrt{1995}}{1369}, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ の定義域が $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ の範囲に等しくないので、 $f^{- 1} (x) = \frac{2 + 9 x + \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}, \frac{2 + 9 x - \sqrt{1369 x^{2} - 1392 x + 144}}{2 (1 - x)}$ は $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 35}{x^{2} + 9 x - 322}$ の逆ではありません。

逆はありません

ステップ 6

三角関数 例

三角関数例