三角関数例

$f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 1

$f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ を方程式で書きます。

$y = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$t = 40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55 = t$ として書き換えます。

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) + 55 = t$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $55$ を引きます。

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$

ステップ 3.3

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$ の各項を $40$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = t - 55$ の各項を $40$ で割ります。

$\frac{40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})}{40} = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$40$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{40 \sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})}{40} = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

ステップ 3.3.2.1.2

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2})$ を $1$ で割ります。

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{- 55}{40}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$- 55$ と $40$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1.1

$5$ を $- 55$ で因数分解します。

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 (- 11)}{40}$

ステップ 3.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1.2.1

$5$ を $40$ で因数分解します。

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 \cdot - 11}{5 \cdot 8}$

ステップ 3.3.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{5 \cdot - 11}{5 \cdot 8}$

ステップ 3.3.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} + \frac{- 11}{8}$

ステップ 3.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2}) = \frac{t}{40} - \frac{11}{8}$

ステップ 3.4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$\frac{5 π}{4} y - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$

ステップ 3.5

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$\frac{5 π}{4}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{5 π y}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$

ステップ 3.6

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$\frac{5 π y}{4} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2}$

ステップ 3.7

方程式の両辺に $\frac{4}{5 π}$ を掛けます。

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.8

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.1

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.8.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.8.1.1.2

$5 π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.1.2.1

$5 π$ を $5 π y$ で因数分解します。

$\frac{1}{5 π} (5 π (y)) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.8.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.8.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.8.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1

$\frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{4}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{4}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 3.8.2.1.2

$\frac{4}{5 π}$ と $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ をまとめます。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{4}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 3.8.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2 (2)}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 3.8.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{π}{2}$

ステップ 3.8.2.1.3.3

式を書き換えます。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5 π} π$

ステップ 3.8.2.1.4

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1.4.1

$π$ を $5 π$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

ステップ 3.8.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

ステップ 3.8.2.1.4.3

式を書き換えます。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5}$

ステップ 3.9

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$\frac{5 π y}{4} = \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2}$

ステップ 3.10

方程式の両辺に $\frac{4}{5 π}$ を掛けます。

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.11

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1.1

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{5 π} \cdot \frac{5 π y}{4} = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.11.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.11.1.1.2

$5 π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1.1.2.1

$5 π$ を $5 π y$ で因数分解します。

$\frac{1}{5 π} (5 π (y)) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.11.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{5 π} (5 π y) = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.11.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$

ステップ 3.11.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.2.1

$\frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{π}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.2.1.1

$\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{4}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

ステップ 3.11.2.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.2.1.2.1

$\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{4}{5 π} (\frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

ステップ 3.11.2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{4}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

ステップ 3.11.2.1.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.2.1.2.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (2)}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

ステップ 3.11.2.1.2.3.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{2 \cdot 2}{5 π} \cdot \frac{\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π}{2}$

ステップ 3.11.2.1.2.3.3

式を書き換えます。

$y = \frac{2}{5 π} (\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) \cdot 2 + π)$

ステップ 3.11.2.1.3

$2$ を $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ の左に移動させます。

$y = \frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + π)$

ステップ 3.11.2.1.4

分配則を当てはめます。

$y = \frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})) + \frac{2}{5 π} π$

ステップ 3.11.2.1.5

$\frac{2}{5 π} (2 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.2.1.5.1

$2$ と $\frac{2}{5 π}$ をまとめます。

$y = \frac{2 \cdot 2}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{2}{5 π} π$

ステップ 3.11.2.1.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{4}{5 π} \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8}) + \frac{2}{5 π} π$

ステップ 3.11.2.1.5.3

$\frac{4}{5 π}$ と $\arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})$ をまとめます。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5 π} π$

ステップ 3.11.2.1.6

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.2.1.6.1

$π$ を $5 π$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

ステップ 3.11.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{π \cdot 5} π$

ステップ 3.11.2.1.6.3

式を書き換えます。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8})}{5 π} + \frac{2}{5}$

ステップ 3.11.2.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.2.1.7.1

$- \frac{11}{8}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11}{8} \cdot \frac{5}{5})}{5 π} + \frac{2}{5}$

ステップ 3.11.2.1.7.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $40$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.2.1.7.2.1

$\frac{11}{8}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11 \cdot 5}{8 \cdot 5})}{5 π} + \frac{2}{5}$

ステップ 3.11.2.1.7.2.2

$8$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t}{40} - \frac{11 \cdot 5}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

ステップ 3.11.2.1.7.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 11 \cdot 5}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

ステップ 3.11.2.1.7.4

$- 11$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2}{5}$

ステップ 3.11.2.1.8

$\frac{2}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{π}{π}$ を掛けます。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2}{5} \cdot \frac{π}{π}$

ステップ 3.11.2.1.9

$\frac{2}{5}$ に $\frac{π}{π}$ をかけます。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{5 π} + \frac{2 π}{5 π}$

ステップ 3.11.2.1.10

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{4 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 2 π}{5 π}$

ステップ 3.11.2.1.11

$2$ を $4 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 2 π$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.2.1.11.1

$2$ を $4 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 π}{5 π}$

ステップ 3.11.2.1.11.2

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 (π)}{5 π}$

ステップ 3.11.2.1.11.3

$2$ を $2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 2 (π)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (t)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$

ステップ 5

$f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$ が $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (t)) = t$ と $f (f^{- 1} (t)) = t$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (t))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (t))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{(40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

ステップ 5.2.3

$(40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) - 55$ と $40$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$5$ を $40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})$ で因数分解します。

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 55 - 55}{40}) + π)}{5 π}$

ステップ 5.2.3.2

$5$ を $55$ で因数分解します。

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 5 (11) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

ステップ 5.2.3.3

$5$ を $5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2})) + 5 (11)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) - 55}{40}) + π)}{5 π}$

ステップ 5.2.3.4

$5$ を $- 55$ で因数分解します。

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) + 5 (- 11)}{40}) + π)}{5 π}$

ステップ 5.2.3.5

$5$ を $5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11) + 5 (- 11)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{40}) + π)}{5 π}$

ステップ 5.2.3.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.6.1

$5$ を $40$ で因数分解します。

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{5 (8)}) + π)}{5 π}$

ステップ 5.2.3.6.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{5 (8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11)}{5 \cdot 8}) + π)}{5 π}$

ステップ 5.2.3.6.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 11 - 11}{8}) + π)}{5 π}$

ステップ 5.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$\frac{5 π}{4}$ と $t$ をまとめます。

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2}) + 11 - 11}{8}) + π)}{5 π}$

ステップ 5.2.4.2

$11$ から $11$ を引きます。

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2}) + 0}{8}) + π)}{5 π}$

ステップ 5.2.4.3

$8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})}{8}) + π)}{5 π}$

ステップ 5.2.5

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{8 \sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})}{8}) + π)}{5 π}$

ステップ 5.2.5.2

$\sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55) = \frac{2 (2 \arcsin (\sin (\frac{5 π t}{4} - \frac{π}{2})) + π)}{5 π}$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (t))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (t))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π})$ の値を求めます。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} \cdot (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$5 π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π} - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{4} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2 (2)} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)) - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π) - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.4.1

$2$ を $2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ で因数分解します。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (\frac{t - 55}{40}))) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.1.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.1.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) + \frac{1}{2} \cdot π - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.1.5

$\frac{1}{2}$ と $π$ をまとめます。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.1.6

$\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.1.7

$\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot 2}{2} + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.1.8

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{\arcsin (\frac{t - 55}{40}) \cdot 2 + π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.1.9

$2$ を $\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ の左に移動させます。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π - π}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.3

$2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π - π$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.3.3.1

$π$ から $π$ を引きます。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + 0}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.3.2

$2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\frac{2 \arcsin (\frac{t - 55}{40})}{2}) + 55$

ステップ 5.3.3.4.2

$\arcsin (\frac{t - 55}{40})$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 \sin (\arcsin (\frac{t - 55}{40})) + 55$

ステップ 5.3.3.5

関数の正弦と逆正弦は逆です。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 (\frac{t - 55}{40}) + 55$

ステップ 5.3.3.6

$40$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.6.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = 40 (\frac{t - 55}{40}) + 55$

ステップ 5.3.3.6.2

式を書き換えます。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t - 55 + 55$

ステップ 5.3.4

$t - 55 + 55$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$- 55$ と $55$ をたし算します。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t + 0$

ステップ 5.3.4.2

$t$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}) = t$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (t)) = t$ と $f (f^{- 1} (t)) = t$ なので、 $f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$ は $f (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$ の逆です。

$f^{- 1} (t) = \frac{2 (2 \arcsin (\frac{t - 55}{40}) + π)}{5 π}$

三角関数 例

三角関数例