三角関数例

$f (t) = 3 e^{0.1 t}$

ステップ 1

$f (t) = 3 e^{0.1 t}$ を方程式で書きます。

$y = 3 e^{0.1 t}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$t = 3 e^{0.1 y}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $3 e^{0.1 y} = t$ として書き換えます。

$3 e^{0.1 y} = t$

ステップ 3.2

$3 e^{0.1 y} = t$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$3 e^{0.1 y} = t$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 e^{0.1 y}}{3} = \frac{t}{3}$

ステップ 3.2.2.1.2

$e^{0.1 y}$ を $1$ で割ります。

$e^{0.1 y} = \frac{t}{3}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{0.1 y}) = \ln (\frac{t}{3})$

ステップ 3.4

左辺を展開します。

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ステップ 3.4.1

$0.1 y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{0.1 y})$ を展開します。

$0.1 y \ln (e) = \ln (\frac{t}{3})$

ステップ 3.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$0.1 y \cdot 1 = \ln (\frac{t}{3})$

ステップ 3.4.3

$0.1$ に $1$ をかけます。

$0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$

ステップ 3.5

$0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ の各項を $0.1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.1

$0.1 y = \ln (\frac{t}{3})$ の各項を $0.1$ で割ります。

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$0.1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{0.1 y}{0.1} = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

ステップ 3.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

ステップ 3.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1}$

ステップ 3.5.3.2

$0.1$ を $0.1$ で因数分解します。

$y = \frac{1 \ln (\frac{t}{3})}{0.1 (1)}$

ステップ 3.5.3.3

分数を分解します。

$y = \frac{1}{0.1} \cdot \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

ステップ 3.5.3.4

$1$ を $0.1$ で割ります。

$y = 10 \frac{\ln (\frac{t}{3})}{1}$

ステップ 3.5.3.5

$\ln (\frac{t}{3})$ を $1$ で割ります。

$y = 10 \ln (\frac{t}{3})$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$

ステップ 5

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ が $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (t)) = t$ と $f (f^{- 1} (t)) = t$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (t))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (t))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (3 e^{0.1 t})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

ステップ 5.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (\frac{3 e^{0.1 t}}{3})$

ステップ 5.2.3.2

$e^{0.1 t}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 \ln (e^{0.1 t})$

ステップ 5.2.4

対数の法則を利用して指数の外に $0.1 t$ を移動します。

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \ln (e))$

ステップ 5.2.5

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t \cdot 1)$

ステップ 5.2.6

$0.1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 10 (0.1 t)$

ステップ 5.2.7

$10 (0.1 t)$ を掛けます。

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ステップ 5.2.7.1

$0.1$ に $10$ をかけます。

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = 1 t$

ステップ 5.2.7.2

$t$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (3 e^{0.1 t}) = t$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (t))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (t))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (10 \ln (\frac{t}{3}))$ の値を求めます。

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 (10 \ln (\frac{t}{3}))}$

ステップ 5.3.3

対数の中の $10$ を移動させて $10 \ln (\frac{t}{3})$ を簡約します。

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})}$

ステップ 5.3.4

対数の中の $0.1$ を移動させて $0.1 \ln ({(\frac{t}{3})}^{10})$ を簡約します。

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 e^{\ln ({({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1})}$

ステップ 5.3.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$

ステップ 5.3.6

${({(\frac{t}{3})}^{10})}^{0.1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 {(\frac{t}{3})}^{10 \cdot 0.1}$

ステップ 5.3.6.2

$10$ に $0.1$ をかけます。

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

ステップ 5.3.7

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.7.1

共通因数を約分します。

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = 3 (\frac{t}{3})$

ステップ 5.3.7.2

式を書き換えます。

$f (10 \ln (\frac{t}{3})) = t$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (t)) = t$ と $f (f^{- 1} (t)) = t$ なので、 $f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$ は $f (t) = 3 e^{0.1 t}$ の逆です。

$f^{- 1} (t) = 10 \ln (\frac{t}{3})$

三角関数 例

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