三角関数例

$f (t) = - 16 t^{2} + 220$

ステップ 1

$f (t) = - 16 t^{2} + 220$ を方程式で書きます。

$y = - 16 t^{2} + 220$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$t = - 16 y^{2} + 220$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $- 16 y^{2} + 220 = t$ として書き換えます。

$- 16 y^{2} + 220 = t$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $220$ を引きます。

$- 16 y^{2} = t - 220$

ステップ 3.3

$- 16 y^{2} = t - 220$ の各項を $- 16$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- 16 y^{2} = t - 220$ の各項を $- 16$ で割ります。

$\frac{- 16 y^{2}}{- 16} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$- 16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 16 y^{2}}{- 16} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

ステップ 3.3.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{t}{- 16} + \frac{- 220}{- 16}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 220}{- 16}$

ステップ 3.3.3.1.2

$- 220$ と $- 16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1.2.1

$- 4$ を $- 220$ で因数分解します。

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 (55)}{- 16}$

ステップ 3.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1.2.2.1

$- 4$ を $- 16$ で因数分解します。

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 \cdot 55}{- 4 \cdot 4}$

ステップ 3.3.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{- 4 \cdot 55}{- 4 \cdot 4}$

ステップ 3.3.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y^{2} = - \frac{t}{16} + \frac{55}{4}$

ステップ 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4}}$

ステップ 3.5

$\pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\frac{55}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55}{4} \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 3.5.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.5.2.1

$\frac{55}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55 \cdot 4}{4 \cdot 4}}$

ステップ 3.5.2.2

$4$ に $4$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{t}{16} + \frac{55 \cdot 4}{16}}$

ステップ 3.5.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- t + 55 \cdot 4}{16}}$

ステップ 3.5.4

$55$ に $4$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- t + 220}{16}}$

ステップ 3.5.5

$\frac{- t + 220}{16}$ を ${(\frac{1}{4})}^{2} (- t + 220)$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.5.1

$- t + 220$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- t + 220)}{16}}$

ステップ 3.5.5.2

$16$ から完全累乗 $4^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- t + 220)}{4^{2} \cdot 1}}$

ステップ 3.5.5.3

分数 $\frac{1^{2} (- t + 220)}{4^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (- t + 220)}$

ステップ 3.5.6

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{4} \sqrt{- t + 220}$

ステップ 3.5.7

$\frac{1}{4}$ と $\sqrt{- t + 220}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

ステップ 3.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

ステップ 3.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

ステップ 3.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

ステップ 5

$f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ が $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ の値域、 $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (t) = - 16 t^{2} + 220$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, 220]$

ステップ 5.3

$\frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{- t + 220}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$- t + 220 \geq 0$

ステップ 5.3.2

$t$ について解きます。

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ステップ 5.3.2.1

不等式の両辺から $220$ を引きます。

$- t \geq - 220$

ステップ 5.3.2.2

$- t \geq - 220$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$- t \geq - 220$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- t}{- 1} \leq \frac{- 220}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{t}{1} \leq \frac{- 220}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.2.2

$t$ を $1$ で割ります。

$t \leq \frac{- 220}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.3.1

$- 220$ を $- 1$ で割ります。

$t \leq 220$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $t$ のすべての値です。

$(- \infty, 220]$

ステップ 5.4

$f (t) = - 16 t^{2} + 220$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ の定義域が $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ の範囲で、 $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ の範囲が $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ の定義域なので、 $f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$ は $f (t) = - 16 t^{2} + 220$ の逆です。

$f^{- 1} (t) = \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}, - \frac{\sqrt{- t + 220}}{4}$

ステップ 6

三角関数 例

三角関数例