三角関数例

cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

x = cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}))

$x = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}))$

ステップ 2

y

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を

cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$ として書き換えます。

cot (arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x

$\cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})) = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から

arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})

$\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}})$ を取り出します。

arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}) = arccot (x)

$\arctan (\sqrt{\frac{2}{y}}) = arccot (x)$

ステップ 2.3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から

y

$y$ を取り出します。

\sqrt{\frac{2}{y}} = tan (arccot (x))

$\sqrt{\frac{2}{y}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

\sqrt{\frac{2}{y}}

$\sqrt{\frac{2}{y}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

\sqrt{\frac{2}{y}}

$\sqrt{\frac{2}{y}}$ を

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ に書き換えます。

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.2

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ に

\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ をかけます。

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.3.1

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}$ に

\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}

$\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ をかけます。

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.3.2

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$ を

1

$1$ 乗します。

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.3.3

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$ を

1

$1$ 乗します。

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.3.4

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.3.5

1

$1$ と

1

$1$ をたし算します。

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.3.6

{\sqrt{y}}^{2}

${\sqrt{y}}^{2}$ を

y

$y$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.3.6.1

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$ を

y^{\frac{1}{2}}

$y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.3.6.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ と

2

$2$ をまとめます。

\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = tan (arccot (x))

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.3.6.4

2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y^{1}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.3.6.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{y}}{y} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.5

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

交点

$(x, 1)$ 、

$(x, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、

$arccot (x)$ は正のx軸と、原点から始まって

$(x, 1)$ を通る半直線の間の角です。したがって、

$\tan (arccot (x))$ は

$\frac{1}{x}$ です。

$\frac{\sqrt{2 y}}{y} = \frac{1}{x}$

ステップ 2.6

たすき掛けします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

右辺の分子と左辺の分母の積を、左辺の分子と右辺の分母の積と等しくしてたすき掛けします。

$1 \cdot (y) = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

ステップ 2.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$y$ に

$1$ をかけます。

$y = \sqrt{2 y} \cdot (x)$

ステップ 2.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1

$\sqrt{2 y}$ に

$x$ をかけます。

$y = \sqrt{2 y} x$

ステップ 2.7

方程式を

$\sqrt{2 y} x = y$ として書き換えます。

$\sqrt{2 y} x = y$

ステップ 2.8

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(\sqrt{2 y} x)}^{2} = y^{2}$

ステップ 2.9

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2 y}$ を

${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

ステップ 2.9.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}} x)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1.1

積の法則を

$2 y$ に当てはめます。

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x)}^{2} = y^{2}$

ステップ 2.9.2.1.2

べき乗則

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1.2.1

積の法則を

$2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} x$ に当てはめます。

${(2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

ステップ 2.9.2.1.2.2

積の法則を

$2^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

ステップ 2.9.2.1.3

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

ステップ 2.9.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

ステップ 2.9.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$2^{1} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

ステップ 2.9.2.1.4

指数を求めます。

$2 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2} = y^{2}$

ステップ 2.9.2.1.5

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1.5.1

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

ステップ 2.9.2.1.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.2.1.5.2.1

共通因数を約分します。

$2 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2} = y^{2}$

ステップ 2.9.2.1.5.2.2

式を書き換えます。

$2 y^{1} x^{2} = y^{2}$

ステップ 2.9.2.1.6

簡約します。

$2 y x^{2} = y^{2}$

ステップ 2.10

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

方程式の両辺から

$y^{2}$ を引きます。

$2 y x^{2} - y^{2} = 0$

ステップ 2.10.2

$y$ を

$2 y x^{2} - y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.1

$y$ を

$2 y x^{2}$ で因数分解します。

$y (2 x^{2}) - y^{2} = 0$

ステップ 2.10.2.2

$y$ を

$- y^{2}$ で因数分解します。

$y (2 x^{2}) + y (- y) = 0$

ステップ 2.10.2.3

$y$ を

$y (2 x^{2}) + y (- y)$ で因数分解します。

$y (2 x^{2} - y) = 0$

ステップ 2.10.3

方程式の左辺の個々の因数が

$0$ と等しいならば、式全体は

$0$ と等しくなります。

$y = 0$

$2 x^{2} - y = 0$

ステップ 2.10.4

$y$ が

$0$ に等しいとします。

$y = 0$

ステップ 2.10.5

$2 x^{2} - y$ を

$0$ に等しくし、

$y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.1

$2 x^{2} - y$ が

$0$ に等しいとします。

$2 x^{2} - y = 0$

ステップ 2.10.5.2

$y$ について

$2 x^{2} - y = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.2.1

方程式の両辺から

$2 x^{2}$ を引きます。

$- y = - 2 x^{2}$

ステップ 2.10.5.2.2

$- y = - 2 x^{2}$ の各項を

$- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.10.5.2.2.1

$- y = - 2 x^{2}$ の各項を

$- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

ステップ 2.10.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

ステップ 2.10.5.2.2.2.2

$y$ を

$1$ で割ります。

$y = \frac{- 2 x^{2}}{- 1}$

ステップ 2.10.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.2.2.3.1

$\frac{- 2 x^{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - 1 \cdot (- 2 x^{2})$

ステップ 2.10.5.2.2.3.2

$- 1 \cdot (- 2 x^{2})$ を

$- (- 2 x^{2})$ に書き換えます。

$y = - (- 2 x^{2})$

ステップ 2.10.5.2.2.3.3

$- 2$ に

$- 1$ をかけます。

$y = 2 x^{2}$

ステップ 2.10.6

最終解は

$y (2 x^{2} - y) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

$y = 0$

$y = 2 x^{2}$

ステップ 3

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ が

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ の値域、

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 4.2

$0$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 4.3

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ の定義域が

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ の範囲に等しくないので、

$f^{- 1} (x) = 0, 2 x^{2}$ は

$f (x) = \cot (\arctan (\sqrt{\frac{2}{x}}))$ の逆ではありません。

逆はありません

ステップ 5

三角関数 例

三角関数例