三角関数例

$\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}))$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$ として書き換えます。

$\cot (\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})) = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})$ を取り出します。

$\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}) = arccot (x)$

ステップ 2.3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$\frac{y}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\frac{y}{\sqrt{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

$\frac{y}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{y}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.2.1

$\frac{y}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{y \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.2.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.2.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.2.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{y \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{y \sqrt{3}}{3^{1}} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.4.1.2.6.5

指数を求めます。

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \tan (arccot (x))$

ステップ 2.5

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

交点 $(x, 1)$ 、 $(x, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $arccot (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(x, 1)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\tan (arccot (x))$ は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{1}{x}$

ステップ 2.6

方程式の両辺に $\frac{3}{\sqrt{3}}$ を掛けます。

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{y \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{3}} (y \sqrt{3}) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.1.1.2

$\sqrt{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1.2.1

$\sqrt{3}$ を $y \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1.1

$\frac{3}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.2.1.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1.2.1

$\frac{3}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.2.1.2.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.2.1.2.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.2.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.2.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.2.1.2.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.2.1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.2.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.2.1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.2.1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.2.1.2.6.5

指数を求めます。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.2.1.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$y = \sqrt{3} \frac{1}{x}$

ステップ 2.7.2.1.4

$\sqrt{3}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt{3}}{x}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ が $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}})))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

ステップ 4.2.3

分数を分解します。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

ステップ 4.2.4

正弦と余弦に関して $\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ を書き換えます。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}}$

ステップ 4.2.5

分数の逆数を掛け、 $\frac{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ で割ります。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$

ステップ 4.2.6

$\frac{\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}{\cos (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))}$ を $\tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ に変換します。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \frac{\sqrt{3}}{1} \cdot \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

ステップ 4.2.7

$\sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$

ステップ 4.2.8

関数の正切と逆正切は逆です。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

ステップ 4.2.9

$\sqrt{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.9.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

ステップ 4.2.9.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\sqrt{3}}{x})$ の値を求めます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$

ステップ 4.3.3

交点 $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cot (\arctan (\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}))$ は $\frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$ です。

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{1}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{x}}{\sqrt{3}}}$

ステップ 4.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = 1 (\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}})$

ステップ 4.3.5

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x}}$

ステップ 4.3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

ステップ 4.3.7

$\sqrt{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = \sqrt{3} (\frac{x}{\sqrt{3}})$

ステップ 4.3.7.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{3}}{x}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$ は $f (x) = \cot (\arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}))$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3}}{x}$

三角関数 例

三角関数例