三角関数例

$\cos (x - y)$

ステップ 1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$x - y = \arccos (0)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x - y = \frac{π}{2}$

ステップ 3

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$- y = \frac{π}{2} - x$

ステップ 4

$- y = \frac{π}{2} - x$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$- y = \frac{π}{2} - x$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

ステップ 4.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$\frac{\frac{π}{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - 1 \cdot \frac{π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

ステップ 4.3.1.2

$- 1 \cdot \frac{π}{2}$ を $- \frac{π}{2}$ に書き換えます。

$y = - \frac{π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

ステップ 4.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y = - \frac{π}{2} + \frac{x}{1}$

ステップ 4.3.1.4

$x$ を $1$ で割ります。

$y = - \frac{π}{2} + x$

ステップ 5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x - y = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 6

$y$ について解きます。

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ステップ 6.1

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x - y = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.1.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.1.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x - y = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x - y = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x - y = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 6.1.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x - y = \frac{3 π}{2}$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$- y = \frac{3 π}{2} - x$

ステップ 6.3

$- y = \frac{3 π}{2} - x$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$- y = \frac{3 π}{2} - x$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{3 π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{3 π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

ステップ 6.3.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{3 π}{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1.1

$\frac{\frac{3 π}{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y = - 1 \cdot \frac{3 π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

ステップ 6.3.3.1.2

$- 1 \cdot \frac{3 π}{2}$ を $- \frac{3 π}{2}$ に書き換えます。

$y = - \frac{3 π}{2} + \frac{- x}{- 1}$

ステップ 6.3.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y = - \frac{3 π}{2} + \frac{x}{1}$

ステップ 6.3.3.1.4

$x$ を $1$ で割ります。

$y = - \frac{3 π}{2} + x$

ステップ 7

変数を入れ替えます。

$x = - \frac{3 π}{2} + y$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $- \frac{3 π}{2} + y = x$ として書き換えます。

$- \frac{3 π}{2} + y = x$

ステップ 8.2

方程式の両辺に $\frac{3 π}{2}$ を足します。

$y = x + \frac{3 π}{2}$

ステップ 9

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$

ステップ 10

$f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$ が $f (x) = - \frac{3 π}{2} + x$ の逆か確認します。

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ステップ 10.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 10.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 10.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 10.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x) = (- \frac{3 π}{2} + x) + \frac{3 π}{2}$

ステップ 10.2.3

$(- \frac{3 π}{2} + x) + \frac{3 π}{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 10.2.3.1

$- \frac{3 π}{2}$ と $\frac{3 π}{2}$ をたし算します。

$f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x) = x + 0$

ステップ 10.2.3.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (- \frac{3 π}{2} + x) = x$

ステップ 10.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 10.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 10.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (x + \frac{3 π}{2})$ の値を求めます。

$f (x + \frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + x + \frac{3 π}{2}$

ステップ 10.3.3

括弧を削除します。

$f (x + \frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + x + \frac{3 π}{2}$

ステップ 10.3.4

$- \frac{3 π}{2} + x + \frac{3 π}{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 10.3.4.1

$- \frac{3 π}{2}$ と $\frac{3 π}{2}$ をたし算します。

$f (x + \frac{3 π}{2}) = x + 0$

ステップ 10.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (x + \frac{3 π}{2}) = x$

ステップ 10.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$ は $f (x) = - \frac{3 π}{2} + x$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x + \frac{3 π}{2}$

三角関数 例

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