三角関数例

$\cos (4 x) - \sin (4 x)$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \cos (4 y) - \sin (4 y)$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\cos (4 y) - \sin (4 y) = x$ として書き換えます。

$\cos (4 y) - \sin (4 y) = x$

ステップ 2.2

恒等式を利用して方程式を解きます。この恒等式では、 $θ$ はグラフ上に点 $(a, b)$ をプロットしてできる角度を表しているので、 $θ = \arctan (\frac{b}{a})$ を利用して求めることができます。

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ および $θ = \arctan (\frac{b}{a})$ ならば $a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$

ステップ 2.3

方程式を立て、 $θ$ の値を求めます。

$\arctan (\frac{1}{- 1})$

ステップ 2.4

逆正切をとり、 $θ$ の方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$θ = \arctan (- 1)$

ステップ 2.4.2

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$θ = - \frac{π}{4}$

ステップ 2.5

式を解いて $R$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$R = \sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

ステップ 2.5.2

1のすべての数の累乗は1です。

$R = \sqrt{1 + 1}$

ステップ 2.5.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$R = \sqrt{2}$

ステップ 2.6

既知数を方程式に代入します。

$(\sqrt{2}) \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$

ステップ 2.7

$\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$ の各項を $\sqrt{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4}) = x$ の各項を $\sqrt{2}$ で割ります。

$\frac{\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$\sqrt{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2} \sin (4 y - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.7.2.1.2

$\sin (4 y - \frac{π}{4})$ を $1$ で割ります。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.1

$\frac{x}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 2.7.3.2

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.2.1

$\frac{x}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 2.7.3.2.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 2.7.3.2.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 2.7.3.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.7.3.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 2.7.3.2.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.7.3.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.7.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.7.3.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.3.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.7.3.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 2.7.3.2.6.5

指数を求めます。

$\sin (4 y - \frac{π}{4}) = \frac{x \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.8

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$4 y - \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})$

ステップ 2.9

方程式の両辺に $\frac{π}{4}$ を足します。

$4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$

ステップ 2.10

$4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

$4 y = \arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

ステップ 2.10.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y}{4} = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

ステップ 2.10.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{\frac{π}{4}}{4}$

ステップ 2.10.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 2.10.3.1.2

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.2.1

$\frac{π}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{4 \cdot 4}$

ステップ 2.10.3.1.2.2

$4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ が $f (x) = \cos (4 x) - \sin (4 x)$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (\frac{(\cos (4 x) - \sin (4 x)) \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

ステップ 4.2.3

$\frac{\arcsin (\frac{(\cos (4 x) - \sin (4 x)) \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ の因数を並べ替えます。

$f^{- 1} (\cos (4 x) - \sin (4 x)) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2} (\cos (4 x) - \sin (4 x))}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16})$ の値を求めます。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

ステップ 4.3.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 4.3.3.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{16})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

ステップ 4.3.3.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.3.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 (4)})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

ステップ 4.3.3.3.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 \cdot 4})) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

ステップ 4.3.3.3.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}))$

ステップ 4.3.3.4

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16}))$

ステップ 4.3.3.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.5.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (4 (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4}) + 4 (\frac{π}{16}))$

ステップ 4.3.3.5.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{16}))$

ステップ 4.3.3.6

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.6.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 (4)}))$

ステップ 4.3.3.6.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + 4 (\frac{π}{4 \cdot 4}))$

ステップ 4.3.3.6.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}) = \cos (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4})$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$ は $f (x) = \cos (4 x) - \sin (4 x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{4} + \frac{π}{16}$

三角関数 例

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