三角関数例

$f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$

ステップ 1

$f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ を方程式で書きます。

$y = \frac{4}{x - 2} + 1$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{4}{y - 2} + 1$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{4}{y - 2} + 1 = x$ として書き換えます。

$\frac{4}{y - 2} + 1 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\frac{4}{y - 2} = x - 1$

ステップ 3.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y - 2, 1, 1$

ステップ 3.3.2

括弧を削除します。

$y - 2, 1, 1$

ステップ 3.3.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y - 2$

ステップ 3.4

$\frac{4}{y - 2} = x - 1$ の各項に $y - 2$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\frac{4}{y - 2} = x - 1$ の各項に $y - 2$ を掛けます。

$\frac{4}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) - (y - 2)$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$y - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) - (y - 2)$

ステップ 3.4.2.1.2

式を書き換えます。

$4 = x (y - 2) - (y - 2)$

ステップ 3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

分配則を当てはめます。

$4 = x y + x \cdot - 2 - (y - 2)$

ステップ 3.4.3.1.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$4 = x y - 2 \cdot x - (y - 2)$

ステップ 3.4.3.1.3

分配則を当てはめます。

$4 = x y - 2 x - y - - 2$

ステップ 3.4.3.1.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$4 = x y - 2 x - y + 2$

ステップ 3.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $x y - 2 x - y + 2 = 4$ として書き換えます。

$x y - 2 x - y + 2 = 4$

ステップ 3.5.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺に $2 x$ を足します。

$x y - y + 2 = 4 + 2 x$

ステップ 3.5.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x y - y = 4 + 2 x - 2$

ステップ 3.5.2.3

$4$ から $2$ を引きます。

$x y - y = 2 x + 2$

ステップ 3.5.3

$y$ を $x y - y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$y x - y = 2 x + 2$

ステップ 3.5.3.2

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y x + y \cdot - 1 = 2 x + 2$

ステップ 3.5.3.3

$y$ を $y x + y \cdot - 1$ で因数分解します。

$y (x - 1) = 2 x + 2$

ステップ 3.5.4

$y (x - 1) = 2 x + 2$ の各項を $x - 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

$y (x - 1) = 2 x + 2$ の各項を $x - 1$ で割ります。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

ステップ 3.5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

ステップ 3.5.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}$

ステップ 3.5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{2 x + 2}{x - 1}$

ステップ 3.5.4.3.2

$2$ を $2 x + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.3.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (x) + 2}{x - 1}$

ステップ 3.5.4.3.2.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (x) + 2 (1)}{x - 1}$

ステップ 3.5.4.3.2.3

$2$ を $2 (x) + 2 (1)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ が $f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 ((\frac{4}{x - 2} + 1) + 1)}{(\frac{4}{x - 2} + 1) - 1}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} + 1)}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

ステップ 5.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2}{x - 2} + 1)}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

ステップ 5.2.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

ステップ 5.2.3.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{4 + x - 2 + x - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

ステップ 5.2.3.5

項を並べ替えます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{x + x + 4 - 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

ステップ 5.2.3.6

因数分解した形で $\frac{x + x + 4 - 2 - 2}{x - 2}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.6.1

$x$ と $x$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 4 - 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

ステップ 5.2.3.6.2

$4$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 2 - 2}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

ステップ 5.2.3.6.3

$2$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x + 0}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

ステップ 5.2.3.6.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + 1 - 1}$

ステップ 5.2.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} - 1}$

ステップ 5.2.4.2

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} - 1}$

ステップ 5.2.4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 2}{x - 2}$ を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

ステップ 5.2.4.4

$- 1$ と $\frac{x - 2}{x - 2}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2}}$

ステップ 5.2.4.5

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 + x - 2 - (x - 2)}{x - 2}}$

ステップ 5.2.4.6

項を並べ替えます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - (x - 2)}{x - 2}}$

ステップ 5.2.4.7

因数分解した形で $\frac{x + 4 - 2 - (x - 2)}{x - 2}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.7.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - x + 2}{x - 2}}$

ステップ 5.2.4.7.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{x + 4 - 2 - x + 2}{x - 2}}$

ステップ 5.2.4.7.3

$x$ から $x$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{0 + 4 - 2 + 2}{x - 2}}$

ステップ 5.2.4.7.4

$0$ と $4$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4 - 2 + 2}{x - 2}}$

ステップ 5.2.4.7.5

$4$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{2 + 2}{x - 2}}$

ステップ 5.2.4.7.6

$2$ と $2$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{2 (\frac{2 x}{x - 2})}{\frac{4}{x - 2}}$

ステップ 5.2.5

$2$ と $\frac{2 x}{x - 2}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{\frac{2 (2 x)}{x - 2}}{\frac{4}{x - 2}}$

ステップ 5.2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{\frac{4 x}{x - 2}}{\frac{4}{x - 2}}$

ステップ 5.2.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

ステップ 5.2.8

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

ステップ 5.2.8.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{4 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{4}$

ステップ 5.2.8.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

ステップ 5.2.9

$x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.9.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

ステップ 5.2.9.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{4}{x - 2} + 1) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1})$ の値を求めます。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{4}{(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2} + 1$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$4$ と $(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{(\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) - 2} + 1$

ステップ 5.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.2.1

$2$ を $\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ で因数分解します。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{2 (\frac{x + 1}{x - 1}) - 2} + 1$

ステップ 5.3.3.1.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{x + 1}{x - 1}) + 2 \cdot - 1} + 1$

ステップ 5.3.3.1.2.3

$2$ を $2 \frac{x + 1}{x - 1} + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 (2)}{2 (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)} + 1$

ステップ 5.3.3.1.2.4

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)} + 1$

ステップ 5.3.3.1.2.5

式を書き換えます。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1} + 1$

ステップ 5.3.3.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.2

$- 1$ と $\frac{x - 1}{x - 1}$ をまとめます。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.4

因数分解した形で $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.4.1

分配則を当てはめます。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.4.3

$x$ から $x$ を引きます。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{0 + 1 + 1}{x - 1}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.4.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{1 + 1}{x - 1}} + 1$

ステップ 5.3.3.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{2}{x - 1}} + 1$

ステップ 5.3.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

ステップ 5.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

ステップ 5.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x - 1 + 1$

ステップ 5.3.4

$x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{2 (x + 1)}{x - 1}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ は $f (x) = \frac{4}{x - 2} + 1$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{2 (x + 1)}{x - 1}$

三角関数 例

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