三角関数例

$f (x) = \sqrt{6 x - 9}$

ステップ 1

$f (x) = \sqrt{6 x - 9}$ を方程式で書きます。

$y = \sqrt{6 x - 9}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt{6 y - 9}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\sqrt{6 y - 9} = x$ として書き換えます。

$\sqrt{6 y - 9} = x$

ステップ 3.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{6 y - 9}}^{2} = x^{2}$

ステップ 3.3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 y - 9}$ を ${(6 y - 9)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(6 y - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

${({(6 y - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

${({(6 y - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(6 y - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(6 y - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(6 y - 9)}^{1} = x^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

簡約します。

$6 y - 9 = x^{2}$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$6 y = x^{2} + 9$

ステップ 3.4.2

$6 y = x^{2} + 9$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$6 y = x^{2} + 9$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{9}{6}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{9}{6}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{9}{6}$

ステップ 3.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

$9$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 (3)}{6}$

ステップ 3.4.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

ステップ 3.4.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}$

ステップ 3.4.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}$ が $f (x) = \sqrt{6 x - 9}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{{(\sqrt{6 x - 9})}^{2}}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$3$ を $6 x - 9$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1

$3$ を $6 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x) - 9}}^{2}}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3.1.1.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x) + 3 (- 3)}}^{2}}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3.1.1.3

$3$ を $3 (2 x) + 3 (- 3)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x - 3)}}^{2}}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3.1.2

${\sqrt{3 (2 x - 3)}}^{2}$ を $3 (2 x - 3)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 (2 x - 3)}$ を ${(3 (2 x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{{({(3 (2 x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{{(3 (2 x - 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{{(3 (2 x - 3))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{{(3 (2 x - 3))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{3 (2 x - 3)}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3.1.2.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{3 (2 x - 3)}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot - 3}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3.1.4

$2$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{6 x + 3 \cdot - 3}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3.1.5

$3$ に $- 3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{6 x - 9}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3.1.6

$3$ を $6 x - 9$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.6.1

$3$ を $6 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{3 (2 x) - 9}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3.1.6.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{3 (2 x) + 3 (- 3)}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3.1.6.3

$3$ を $3 (2 x) + 3 (- 3)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{3 (2 x - 3)}{6} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{3 (2 x - 3)}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{3 (2 x - 3)}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{2 x - 3}{2} + \frac{3}{2}$

ステップ 5.2.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

ステップ 5.2.4.2

$2 x - 3 + 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{2 x + 0}{2}$

ステップ 5.2.4.2.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.4.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 9}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) - 9}$

ステップ 5.3.3

$3$ を $6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) - 9$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$3$ を $6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2})$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2})) - 9}$

ステップ 5.3.3.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2})) + 3 (- 3)}$

ステップ 5.3.3.3

$3$ を $3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2})) + 3 (- 3)$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) - 3)}$

ステップ 5.3.4

分配則を当てはめます。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3)}$

ステップ 5.3.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{2 (3)}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3)}$

ステップ 5.3.5.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 3}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3)}$

ステップ 5.3.5.3

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 (\frac{3}{2}) - 3)}$

ステップ 5.3.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 (\frac{3}{2}) - 3)}$

ステップ 5.3.6.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 3 - 3)}$

ステップ 5.3.7

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

$3$ から $3$ を引きます。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 0)}$

ステップ 5.3.7.2

$\frac{x^{2}}{3}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3})}$

ステップ 5.3.8

$3$ と $\frac{x^{2}}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

ステップ 5.3.9

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{3 x^{2}}{3}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

ステップ 5.3.9.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

ステップ 5.3.9.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

ステップ 5.3.10

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}$ は $f (x) = \sqrt{6 x - 9}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{2}$

三角関数 例

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