三角関数例

$f (x) = - x^{3} + 7$

ステップ 1

$f (x) = - x^{3} + 7$ を方程式で書きます。

$y = - x^{3} + 7$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = - y^{3} + 7$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $- y^{3} + 7 = x$ として書き換えます。

$- y^{3} + 7 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$- y^{3} = x - 7$

ステップ 3.3

$- y^{3} = x - 7$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- y^{3} = x - 7$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 7}{- 1}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 7}{- 1}$

ステップ 3.3.2.2

$y^{3}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 7}{- 1}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1.1

$\frac{x}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$y^{3} = - 1 \cdot x + \frac{- 7}{- 1}$

ステップ 3.3.3.1.2

$- 1 \cdot x$ を $- x$ に書き換えます。

$y^{3} = - x + \frac{- 7}{- 1}$

ステップ 3.3.3.1.3

$- 7$ を $- 1$ で割ります。

$y^{3} = - x + 7$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{- x + 7}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 7}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 7}$ が $f (x) = - x^{3} + 7$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (- x^{3} + 7)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (- x^{3} + 7) = \sqrt[3]{- (- x^{3} + 7) + 7}$

ステップ 5.2.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (- x^{3} + 7) = \sqrt[3]{x^{3} - 1 \cdot 7 + 7}$

ステップ 5.2.4

$- 1$ に $7$ をかけます。

$f^{- 1} (- x^{3} + 7) = \sqrt[3]{x^{3} - 7 + 7}$

ステップ 5.2.5

$- 7$ と $7$ をたし算します。

$f^{- 1} (- x^{3} + 7) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

ステップ 5.2.6

$x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (- x^{3} + 7) = \sqrt[3]{x^{3}}$

ステップ 5.2.7

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (- x^{3} + 7) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[3]{- x + 7})$ の値を求めます。

$f (\sqrt[3]{- x + 7}) = - {(\sqrt[3]{- x + 7})}^{3} + 7$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

${\sqrt[3]{- x + 7}}^{3}$ を $- x + 7$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{- x + 7}$ を ${(- x + 7)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[3]{- x + 7}) = - {({(- x + 7)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 7$

ステップ 5.3.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt[3]{- x + 7}) = - {(- x + 7)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 7$

ステップ 5.3.3.1.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f (\sqrt[3]{- x + 7}) = - {(- x + 7)}^{\frac{3}{3}} + 7$

ステップ 5.3.3.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[3]{- x + 7}) = - {(- x + 7)}^{\frac{3}{3}} + 7$

ステップ 5.3.3.1.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt[3]{- x + 7}) = - (- x + 7) + 7$

ステップ 5.3.3.1.5

簡約します。

$f (\sqrt[3]{- x + 7}) = - (- x + 7) + 7$

ステップ 5.3.3.2

分配則を当てはめます。

$f (\sqrt[3]{- x + 7}) = x - 1 \cdot 7 + 7$

ステップ 5.3.3.3

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 5.3.3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\sqrt[3]{- x + 7}) = 1 x - 1 \cdot 7 + 7$

ステップ 5.3.3.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\sqrt[3]{- x + 7}) = x - 1 \cdot 7 + 7$

ステップ 5.3.3.4

$- 1$ に $7$ をかけます。

$f (\sqrt[3]{- x + 7}) = x - 7 + 7$

ステップ 5.3.4

$x - 7 + 7$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$- 7$ と $7$ をたし算します。

$f (\sqrt[3]{- x + 7}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\sqrt[3]{- x + 7}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 7}$ は $f (x) = - x^{3} + 7$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 7}$

三角関数 例

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