三角関数例

$y = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \frac{\sqrt{2 y + 4}}{3}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} = x$ として書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} = x$

ステップ 2.2

両辺に $3$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} \cdot 3$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$2$ を $2 y + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{2 (y) + 4}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

ステップ 2.3.1.1.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{2 y + 2 \cdot 2}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

ステップ 2.3.1.1.1.3

$2$ を $2 y + 2 \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{2 (y + 2)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

ステップ 2.3.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2 (y + 2)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

ステップ 2.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\sqrt{2 (y + 2)} = x \cdot 3$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\sqrt{2 (y + 2)} = 3 x$

ステップ 2.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{2 (y + 2)}}^{2} = {(3 x)}^{2}$

ステップ 2.4.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 (y + 2)}$ を ${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x)}^{2}$

ステップ 2.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1

${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x)}^{2}$

ステップ 2.4.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x)}^{2}$

ステップ 2.4.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 (y + 2))}^{1} = {(3 x)}^{2}$

ステップ 2.4.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

${(2 y + 2 \cdot 2)}^{1} = {(3 x)}^{2}$

ステップ 2.4.2.2.1.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

${(2 y + 4)}^{1} = {(3 x)}^{2}$

ステップ 2.4.2.2.1.3.2

簡約します。

$2 y + 4 = {(3 x)}^{2}$

ステップ 2.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.1

${(3 x)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.1.1

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$2 y + 4 = 3^{2} x^{2}$

ステップ 2.4.2.3.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$2 y + 4 = 9 x^{2}$

ステップ 2.4.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$2 y = 9 x^{2} - 4$

ステップ 2.4.3.2

$2 y = 9 x^{2} - 4$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.2.1

$2 y = 9 x^{2} - 4$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

ステップ 2.4.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

ステップ 2.4.3.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

ステップ 2.4.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.2.3.1

$- 4$ を $2$ で割ります。

$y = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$ が $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3})}^{2}}{2} - 2$

ステップ 4.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$2$ を $2 x + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 (x) + 4}}{3})}^{2}}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 x + 2 \cdot 2}}{3})}^{2}}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.1.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot 2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 (x + 2)}}{3})}^{2}}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

積の法則を $\frac{\sqrt{2 (x + 2)}}{3}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{\sqrt{2 (x + 2)}}^{2}}{3^{2}})}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.2.1

${\sqrt{2 (x + 2)}}^{2}$ を $2 (x + 2)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 (x + 2)}$ を ${(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{({(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.2.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.2.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.2.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.2.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.2.2.1.5

簡約します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.2.2.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3^{2}})}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.2.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 4}{3^{2}})}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.2.2.4

$2$ を $2 x + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.2.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x) + 4}{3^{2}})}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.2.2.4.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3^{2}})}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.2.2.4.3

$2$ を $2 x + 2 \cdot 2$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.2.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{9})}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.3

$9$ と $\frac{2 (x + 2)}{9}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9}}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.4

$9$ に $2$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{18 (x + 2)}{9}}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.5

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.5.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{18 (x + 2)}{9}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.5.1.1

$9$ を $18 (x + 2)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9}}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.5.1.2

$9$ を $9$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9 (1)}}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.5.1.3

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9 \cdot 1}}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.5.1.4

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{2 (x + 2)}{1}}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.5.2

$2 (x + 2)$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{2 (x + 2)}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.6.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{2 (x + 2)}{2} - 2$

ステップ 4.2.3.6.2

$x + 2$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x + 2 - 2$

ステップ 4.2.4

$x + 2 - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$2$ から $2$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x + 0$

ステップ 4.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2)$ の値を求めます。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 4}}{3}$

ステップ 4.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$2$ を $2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 2 \cdot 2}}{3}$

ステップ 4.3.3.1.2

$2$ を $2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 2 \cdot 2$ で因数分解します。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2 + 2)}}{3}$

ステップ 4.3.3.2

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} + 2)}}{3}$

ステップ 4.3.3.3

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + 2)}}{3}$

ステップ 4.3.3.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + 2)}}{3}$

ステップ 4.3.3.5

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}}{3}$

ステップ 4.3.3.6

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}}{3}$

ステップ 4.3.3.7

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

ステップ 4.3.3.8

項を並べ替えます。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

ステップ 4.3.3.9

因数分解した形で $\frac{9 x^{2} + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.9.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 4 - 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

ステップ 4.3.3.9.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 4 - 4}{2})}}{3}$

ステップ 4.3.3.9.3

$4$ から $4$ を引きます。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 0}{2})}}{3}$

ステップ 4.3.3.9.4

$9 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2})}}{3}$

ステップ 4.3.3.10

$2$ と $\frac{9 x^{2}}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2}}}{3}$

ステップ 4.3.3.11

$2$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{18 x^{2}}{2}}}{3}$

ステップ 4.3.3.12

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.12.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{18 x^{2}}{2}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.12.1.1

$2$ を $18 x^{2}$ で因数分解します。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2}}}{3}$

ステップ 4.3.3.12.1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2 (1)}}}{3}$

ステップ 4.3.3.12.1.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2 \cdot 1}}}{3}$

ステップ 4.3.3.12.1.4

式を書き換えます。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{1}}}{3}$

ステップ 4.3.3.12.2

$9 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{9 x^{2}}}{3}$

ステップ 4.3.3.13

$9 x^{2}$ を ${(3 x)}^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2}}}{3}$

ステップ 4.3.3.14

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{3 x}{3}$

ステップ 4.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{3 x}{3}$

ステップ 4.3.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$ は $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$

三角関数 例

三角関数例