三角関数例

$h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$

ステップ 1

$h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ を方程式で書きます。

$y = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 4 \log_{5} (y - 6) + 1$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $4 \log_{5} (y - 6) + 1 = x$ として書き換えます。

$4 \log_{5} (y - 6) + 1 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$

ステップ 3.3

$4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \log_{5} (y - 6)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \log_{5} (y - 6)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

ステップ 3.3.2.1.2

$\log_{5} (y - 6)$ を $1$ で割ります。

$\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} = y - 6$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $y - 6 = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$ として書き換えます。

$y - 6 = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

ステップ 4

$y$ を $h^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

ステップ 5

$h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$ が $h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $h^{- 1} (h (x)) = x$ と $h (h^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$h^{- 1} (h (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$h^{- 1} (h (x))$

ステップ 5.2.2

$h^{- 1}$ に $h$ の値を代入し、 $h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1)$ の値を求めます。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 1}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

公分母の分子をまとめます。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 1 - 1}{4}} + 6$

ステップ 5.2.3.2

$4 \log_{5} (x - 6) + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 0}{4}} + 6$

ステップ 5.2.3.2.2

$4 \log_{5} (x - 6)$ と $0$ をたし算します。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

ステップ 5.2.3.3

対数の中の $4$ を移動させて $4 \log_{5} (x - 6)$ を簡約します。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{\log_{5} ({(x - 6)}^{4})}{4}} + 6$

ステップ 5.2.3.4

$4$ を対数の外に移動させて、 $\log_{5} ({(x - 6)}^{4})$ を展開します。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

ステップ 5.2.3.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.5.1

共通因数を約分します。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

ステップ 5.2.3.5.2

$\log_{5} (x - 6)$ を $1$ で割ります。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\log_{5} (x - 6)} + 6$

ステップ 5.2.3.6

指数関数と対数関数は逆関数です。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x - 6 + 6$

ステップ 5.2.4

$x - 6 + 6$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.4.1

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x$

ステップ 5.3

$h (h^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$h (h^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$h$ に $h^{- 1}$ の値を代入し、 $h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6)$ の値を求めます。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} ((5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) - 6) + 1$

ステップ 5.3.3

$4 \log_{5} ((5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) - 6) + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.3.1

$6$ から $6$ を引きます。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 0) + 1$

ステップ 5.3.3.2

$5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$ と $0$ をたし算します。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}) + 1$

ステップ 5.3.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.4.1

対数の法則を利用して指数の外に $\frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ を移動します。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 ((\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) \log_{5} (5)) + 1$

ステップ 5.3.4.2

$5$ の対数の底 $5$ は $1$ です。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 ((\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) \cdot 1) + 1$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) + 1$

ステップ 5.3.4.4

分配則を当てはめます。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

ステップ 5.3.4.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.5.1

共通因数を約分します。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

ステップ 5.3.4.5.2

式を書き換えます。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

ステップ 5.3.4.6

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.6.1

$- \frac{1}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1$

ステップ 5.3.4.6.2

共通因数を約分します。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1$

ステップ 5.3.4.6.3

式を書き換えます。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x - 1 + 1$

ステップ 5.3.5

$x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 0$

ステップ 5.3.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x$

ステップ 5.4

$h^{- 1} (h (x)) = x$ と $h (h^{- 1} (x)) = x$ なので、 $h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$ は $h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ の逆です。

$h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

三角関数 例

三角関数例