三角関数例

$\sec (\arctan (\frac{x}{3}))$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \sec (\arctan (\frac{y}{3}))$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\sec (\arctan (\frac{y}{3})) = x$ として書き換えます。

$\sec (\arctan (\frac{y}{3})) = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $\arctan (\frac{y}{3})$ を取り出します。

$\arctan (\frac{y}{3}) = arcsec (x)$

ステップ 2.3

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$\frac{y}{3} = \tan (arcsec (x))$

ステップ 2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\tan (arcsec (x))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

指数を利用して式を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1.1

交点 $(1, \sqrt{x^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $arcsec (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \sqrt{x^{2} - 1^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\tan (arcsec (x))$ は $\sqrt{x^{2} - 1}$ です。

$\frac{y}{3} = \sqrt{x^{2} - 1}$

ステップ 2.4.1.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{y}{3} = \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

ステップ 2.4.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{y}{3} = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.5

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 \frac{y}{3} = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.6

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y}{3} = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2.6.1.2

式を書き換えます。

$y = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ が $f (x) = \sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3})))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{((\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) + 1) ((\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) - 1)}$

ステップ 4.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

交点 $(1, \frac{x}{3})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (\frac{x}{3})$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \frac{x}{3})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ は $\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$ です。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

ステップ 4.2.3.2

積の法則を $\frac{x}{3}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

ステップ 4.2.3.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

ステップ 4.2.3.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

ステップ 4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

ステップ 4.2.5

$\frac{9 + x^{2}}{9}$ を ${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

$9 + x^{2}$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

ステップ 4.2.5.2

$9$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

ステップ 4.2.5.3

分数 $\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

ステップ 4.2.6

累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 + x^{2}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

ステップ 4.2.7

$\frac{1}{3}$ と $\sqrt{9 + x^{2}}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

ステップ 4.2.8

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + \frac{3}{3}) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

ステップ 4.2.9

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

ステップ 4.2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.10.1

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} - 1)}$

ステップ 4.2.10.2

積の法則を $\frac{x}{3}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}} - 1)}$

ステップ 4.2.10.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}} - 1)}$

ステップ 4.2.10.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}} - 1)}$

ステップ 4.2.11

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}} - 1)}$

ステップ 4.2.12

$\frac{9 + x^{2}}{9}$ を ${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.12.1

$9 + x^{2}$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}} - 1)}$

ステップ 4.2.12.2

$9$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}} - 1)}$

ステップ 4.2.12.3

分数 $\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})} - 1)}$

ステップ 4.2.13

累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 + x^{2}} - 1)}$

ステップ 4.2.14

$\frac{1}{3}$ と $\sqrt{9 + x^{2}}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} - 1)}$

ステップ 4.2.15

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}$

ステップ 4.2.16

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.16.1

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}$

ステップ 4.2.16.2

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 4.2.16.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 3}{3}}$

ステップ 4.2.16.4

$\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3}$ に $\frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 3}{3}$ をかけます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{3 \cdot 3}}$

ステップ 4.2.16.5

$3$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

ステップ 4.2.17

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.17.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} (\sqrt{9 + x^{2}} - 3) + 3 (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

ステップ 4.2.17.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

ステップ 4.2.17.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

ステップ 4.2.18

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.18.1

$\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.18.1.1

$\sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3$ と $3 \sqrt{9 + x^{2}}$ について因数を並べ替えます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} - 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

ステップ 4.2.18.1.2

$- 3 \sqrt{9 + x^{2}}$ と $3 \sqrt{9 + x^{2}}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 0 + 3 \cdot - 3}{9}}$

ステップ 4.2.18.1.3

$\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

ステップ 4.2.18.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.18.2.1

$\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.18.2.1.1

$\sqrt{9 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

ステップ 4.2.18.2.1.2

$\sqrt{9 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

ステップ 4.2.18.2.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{1 + 1} + 3 \cdot - 3}{9}}$

ステップ 4.2.18.2.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

ステップ 4.2.18.2.2

${\sqrt{9 + x^{2}}}^{2}$ を $9 + x^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.18.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{9 + x^{2}}$ を ${(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{({(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

ステップ 4.2.18.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

ステップ 4.2.18.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

ステップ 4.2.18.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.18.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

ステップ 4.2.18.2.2.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(9 + x^{2}) + 3 \cdot - 3}{9}}$

ステップ 4.2.18.2.2.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{9 + x^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

ステップ 4.2.18.2.3

$3$ に $- 3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{9 + x^{2} - 9}{9}}$

ステップ 4.2.18.3

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.18.3.1

$9 + x^{2} - 9$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.18.3.1.1

$9$ から $9$ を引きます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2} + 0}{9}}$

ステップ 4.2.18.3.1.2

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

ステップ 4.2.18.3.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 4.2.19

$\frac{x^{2}}{3^{2}}$ を ${(\frac{x}{3})}^{2}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

ステップ 4.2.20

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 (\frac{x}{3})$

ステップ 4.2.21

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.21.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 (\frac{x}{3})$

ステップ 4.2.21.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ の値を求めます。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sec (\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3}))$

ステップ 4.3.3

累乗根で指数を約分し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

交点 $(1, \frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sec (\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3}))$ は $\sqrt{1 + {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ です。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

ステップ 4.3.3.2

${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ を $(x + 1) (x - 1)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ を ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.3.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.3.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.3.2.4.2

式を書き換えます。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + (x + 1) (x - 1)}$

ステップ 4.3.3.2.5

簡約します。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + (x + 1) (x - 1)}$

ステップ 4.3.4

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

分配則を当てはめます。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x (x - 1) + 1 (x - 1)}$

ステップ 4.3.4.2

分配則を当てはめます。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}$

ステップ 4.3.4.3

分配則を当てはめます。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.5.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.5.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.5.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1}$

ステップ 4.3.5.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + x - 1}$

ステップ 4.3.5.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} + 0 - 1}$

ステップ 4.3.5.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1}$

ステップ 4.3.6

$1$ から $1$ を引きます。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

ステップ 4.3.7

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{x^{2}}$

ステップ 4.3.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ は $f (x) = \sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

三角関数 例

三角関数例