三角関数例

$f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$

ステップ 1

$f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ を方程式で書きます。

$y = 7 \arcsin (x^{2})$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 7 \arcsin (y^{2})$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $7 \arcsin (y^{2}) = x$ として書き換えます。

$7 \arcsin (y^{2}) = x$

ステップ 3.2

$7 \arcsin (y^{2}) = x$ の各項を $7$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$7 \arcsin (y^{2}) = x$ の各項を $7$ で割ります。

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

ステップ 3.2.2.1.2

$\arcsin (y^{2})$ を $1$ で割ります。

$\arcsin (y^{2}) = \frac{x}{7}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、逆正弦の中から $y$ を取り出します。

$y^{2} = \sin (\frac{x}{7})$

ステップ 3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ が $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- \frac{7 π}{2}, \frac{7 π}{2}]$

ステップ 5.3

Find the domain of the inverse.

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1.1

$\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\sin (\frac{x}{7}) \geq 0$

ステップ 5.3.1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.3.1.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{7} \geq \arcsin (0)$

ステップ 5.3.1.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{x}{7} \geq 0$

ステップ 5.3.1.2.3

両辺に $7$ を掛けます。

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

ステップ 5.3.1.2.4

簡約します。

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ステップ 5.3.1.2.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.4.1.1

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

ステップ 5.3.1.2.4.1.1.2

式を書き換えます。

$x \geq 0 \cdot 7$

ステップ 5.3.1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.2.4.2.1

$0$ に $7$ をかけます。

$x \geq 0$

ステップ 5.3.1.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{x}{7} = π - 0$

ステップ 5.3.1.2.6

$x$ について解きます。

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ステップ 5.3.1.2.6.1

方程式の両辺に $7$ を掛けます。

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

ステップ 5.3.1.2.6.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.2.6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.6.2.1.1

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.2.6.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

ステップ 5.3.1.2.6.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 7 (π - 0)$

ステップ 5.3.1.2.6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.2.6.2.2.1

$π$ から $0$ を引きます。

$x = 7 π$

ステップ 5.3.1.2.7

$\sin (\frac{x}{7})$ の周期を求めます。

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ステップ 5.3.1.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.3.1.2.7.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{7}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{7} |}$

ステップ 5.3.1.2.7.3

$\frac{1}{7}$ は約 $0.\overline{142857}$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{7}}$

ステップ 5.3.1.2.7.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 7$

ステップ 5.3.1.2.7.5

$7$ に $2$ をかけます。

$14 π$

ステップ 5.3.1.2.8

$\sin (\frac{x}{7})$ 関数の周期が $14 π$ なので、両方向で $14 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 14 π n, 7 π + 14 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.3.1.2.9

答えをまとめます。

$x = 7 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.3.1.2.10

各根を利用して検定区間を作成します。

$0 < x < 7 π$

$7 π < x < 14 π$

ステップ 5.3.1.2.11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 5.3.1.2.11.1

区間 $0 < x < 7 π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.11.1.1

区間 $0 < x < 7 π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 5.3.1.2.11.1.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\sin (\frac{2}{7}) \geq 0$

ステップ 5.3.1.2.11.1.3

左辺 $0.28184285$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.3.1.2.11.2

区間 $7 π < x < 14 π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.3.1.2.11.2.1

区間 $7 π < x < 14 π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 24$

ステップ 5.3.1.2.11.2.2

$x$ を元の不等式の $24$ で置き換えます。

$\sin (\frac{24}{7}) \geq 0$

ステップ 5.3.1.2.11.2.3

左辺 $- 0.28305585$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.3.1.2.11.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$0 < x < 7 π$ 真

$7 π < x < 14 π$ 偽

$0 < x < 7 π$ 真

$7 π < x < 14 π$ 偽

ステップ 5.3.1.2.12

解はすべての真の区間からなります。

$0 + 14 π n \leq x \leq 7 π + 14 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.3.1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

${x | x = 0 + 14 π n, x = 7 π + 14 π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 5.3.2

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ステップ 5.3.2.1

和集合は各区間に含まれる要素からなります。

解がありません

ステップ 5.4

$f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ の定義域が $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ の範囲に等しくないので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ は $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ の逆ではありません。

逆はありません

ステップ 6

三角関数 例

三角関数例